Задача №149
Язык алгебры – уравнения. Искусство составления уравнений сводится к умению переводить с «родного языка» на язык алгебраический. Например, в одном из древних рукописных сборников задач жизнь древнегреческого математика Диофанта[1] описывается в виде алгебраической задачи, представляющей надгробную надпись на его могиле:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком.
И половину шестой встретил с пушком на щёках.
Только минула седьмая, с подругой он обручился.
С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.[2]
Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:
⅙х + ⅟₁₂х + ⅐х + 5 + ⅟₂х + 4 = х (см. ответ к задаче №72 )
По мере развития математической мысли (см. О буквенных коэффициентах, История развития способа записи цифр и чисел) развивался и язык алгебры, менялись и совершенствовались используемые при этом знаки (см. Знаки равенства и неравенства, Строгие и нестрогие неравенства, Часть 1. Зарождение алгебры , Часть 2. История алгебры в XVI веке). Неизменным остается то, что для понимания языка алгебры и успешного его применения, необходимо постоянно тренироваться. В противном случае задача, которая казалась вам легко разрешимой в школьные годы, может показаться непосильной.
С помощью языка алгебры – уравнений – нам предстоит разобраться с капиталами четырех пиратов и одного купца.
Для начала решим вопрос с пиратами:
У четырех пиратов есть 45 золотых монет одного достоинства. Если первому пирату отдать еще две монеты, которые забрать у второго, третьему увеличить казну вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех монет будет поровну.
Вопрос: сколько денег у каждого из пиратов?
Для решения этой задачи составим уравнение, разбивая поставленную перед нами задачу на составные части.
1.У четырех пиратов есть 45 золотых монет одного достоинства
Обозначим каждого пирата соответствующим символом: x, y, z, t.
Первая часть задачи принимает вид:
2.Если первому пирату отдать еще две монеты
3.которые забрать у второго (забрать у второго две монеты)
4.третьему увеличить казну вдвое (увеличить имеющиеся деньги вдвое)
5.деньги четвертого уменьшить вдвое
6.то у всех монет будет поровну
Полученное последним уравнение расчленим на три отдельных, используя в качестве основы самую первую часть (деньги первого пирата, увеличенные на две монеты):
Данные уравнения дают y, z, t:
Поставим полученные значения в первое уравнение и получим
Решив это уравнение, мы найдем, что
x = 8.
Далее находим y, z, t, используя составленные ранее уравнения:
y = 12
z = 5
t= 20
Теперь мы знаем, каким капиталом обладали наши пираты:
8 монет, 12 монет, 5 монет, 20 монет.
Пора заглянуть в сундук купца, а точнее - в сундук его управляющего.
Один купец решил начать торговлю в новом городе. Он отправил туда управляющего с неким капиталом. На обустройство торговли управляющий истратил в первый год 100 монет (здесь и далее все монеты одного достоинства). Купец добавил к оставшейся у управляющего сумме третью её часть.
В следующем году управляющий вновь потратил 100 монет, но уже в конце года увеличил оставшуюся сумму на третью её часть.
И на третий год расходы управляющего составили 100 монет. После того, как он прибавил к остатку заработанные за год деньги, составившие третью часть от остатка, капитал у него стал вдвое больше первоначального.
Используя язык алгебры, найдите ответ на вопрос: какую сумму денег имел на руках управляющий в самом начале?
Эта задача решается еще проще, чем предыдущая.
Разберем по частям предложенную нам задачу.
1.У управляющего был «некий капитал»
Обозначим изначальный капитал соответствующим символом: x.
2.управляющий истратил в первый год 100 монет
3.Купец добавил к оставшейся у управляющего сумме третью её часть
4.В следующем году управляющий вновь потратил 100 монет
5.увеличил оставшуюся сумму на третью её часть.
6.на третий год расходы управляющего составили 100 монет
7.он прибавил к остатку заработанные за год деньги, составившие третью часть от остатка
8.капитал у него стал вдвое больше первоначального
Несложно вычислить, что изначальный капитал составлял 1 480 монет.
[1] Диофа́нт Александри́йский (предположительно III век н.э.) – древнегреческий математик. Автор «Арифметики»
[2] Перевод Ивана Николаевича Весело́вского
Еще больше занимательного из истории математики, задач по математике и ответов к ним здесь: funmath.ru