Если вы уже знаете что такое интеграл, но хотите познакомиться с двойным ∫∫, то поздравляю, это статья для вас!
В моем блоге эта заметка оказалась необходимой в рамках серии статей "Павловские чтения", где мы поступательно постигаем азы гидравлики и сейчас остановились на необходимости определения эпюры скоростей потока по сечению канала.
Основой этой статьи является замечательная книга "Кратные интегралы и ряды" Б.М. Будак и С.В. Фомин. Я только постараюсь создать свой собственный (довольно примитивный) образ двойного интеграла, без ныряния в сложные понятия: множества, сумм Дарбу и аддитивности функции. Надеюсь, что это знакомство будет удачным началом, и читатель продолжит самостоятельное изучение темы.
Предупреждаю, что в математике я абсолютный дилетант. С одной стороны это на руку новичкам, так как мои объяснения будут максимально просты (они позволят начать самостоятельное освоение темы), но "взрослым" математикам мои рассуждения могут резать слух. :)
1. Вспомним что такое интеграл.
Давайте для начала вспомним что такое обыкновенный интеграл. И конечно же я абсолютный противник попсового определения "интеграл это площадь под графиком". Интеграл это прогрессивный способ умножения, который позволяет умножать постоянно меняющуюся величину на какую-то константу. Результат этого умножения можно представить себе в виде площади под графиком.
Давайте рассмотрим наипростейший пример умножения 2*2=4. Что это такое: это площадь квадрата у которого мы помножили одну сторону на другую:
На рисунке выше видно, что мы умножаем функцию y=2 на отрезок по оси X от 2 до 4х. Умножаем интегрированием с применением формулы Ньютона-Лейбница: находим первообразную и подставляя иксы пределов интегрирования, находим разницу первообразных.
Причем, на рисунке видно что пределы интегрирования в нашем случае не так важны, как важна разница между иксами: если проинтегрировать площадь желтого квадрата (4<X<6), то опять получим 4.
Вот так будет визуально выглядеть наш интеграл, если мы функцию y=2 заменим на произвольную "кривульку" f(x):
Соответственно, если голубой график символизирует гидрограф: расход воды который меняется по времени, то площадь под графиком будет объем воды, который вытек за определенный промежуток времени. Это легко проверить контролем единиц измерения: м3/с*с=м3.
2. Понятие двойного интеграла.
Итак, двойной интеграл, это умножение функции двух переменных z=f(xy) (которую можно визуализировать облаком точек нулевой толщины) на "плоскую" область F в плоскости OXY. Причем, границы области F тоже могут быть кривые. Результат этого умножения можно представить себе в виде цилиндрообразного объема под графиком.
Сразу хочу доложить, что если бы область F была бы не плоская, то нам пришлось бы переходить на ∫∫∫ тройные интегралы.
В этом примере мы видим странный предел интегрирования -> область F. Чтобы его заменить на привычные пределы интегралов, надо совершить переход к повторным интегралам: будем рассматривать двойной интеграл как тело, составленное из бесконечно малых вертикальных нарезок-слоев. Каждый слой имеет некоторую толщину, и следовательно объем, а сумма этих объемов и даст нам полный интеграл.
3. Сведение двойного интеграла к повторному.
Сходу я приведу цитату основной мыслей из книги Будака и Фомина, а потом начнем разбирать примеры.
Если уяснить себе эту мысль перехода к повторным интегралам как суммирование тонко нарезанных слоев-сечений тела, которые в свою очередь являются обычными интегралами площади каждого из бесконечного количества сечений, то пропадет необходимость запоминать порядок обхода области интегрирования. Эта задача станет простой, понятной и естественной.
А теперь давайте по аналогии с квадратом в обычном ∫ интеграле, возьмем прямоугольный параллелепипед и разберем ∫∫ двойной интеграл.
Вот он наш красавец, выдавленный в автокаде:
1. крышка его ограничена простой функцией z=3;
2. длина стороны по ОХ: от трех до восьми;
3. длина стороны по OY: от одного до трех.
4. Область G является "донышком" (зеленым на рисунке)
Я предлагаю такой алгоритм:
1. мысленно представляем себе как мы будем интегрировать красные ломтики-сечения по оси X. И пределы интегрирования у нас будут от трех до восьми. Это будет внешним интегралом.
2. мысленно выбираем любой понравившийся ломтик, и представляем себе как мы его будем интегрировать по оси Y. В нашем случае пределы интегрирования очевидны: от 1 до трех. Это будут пределы внутреннего интеграла.
3. Но для нахождения площади сечения-ломтика, пределов интегрирования по OY мало, надо же знать еще и функцию! В нашем случае это просто константа Z=3.
Но можно пойти и другим путем, и разрезать на ломтики наш параллелепипед по другой оси. В этом случае внешний и внутренний интегралы изменятся, но итог должен остаться тот-же:
Тогда повторный интеграл примет следующий вид:
Понятное дело, что вместо прямоугольной области G (которую лично я воспринимаю как проекцию границы интегрирования искомой функции на плоскость OXY) можно юзать всякие кривые: параболы, круги, синусы, экспоненты....
А вместо вертикальной отсечки Z=const можно использовать полновесные функции двух переменных f(x,y).
Суммируя и вычитая разные объёмы получавшихся тел, мы можем находить весьма вычурные фигуры.
В нашем самом простом случае порядок обхода области не важен, но бывают случаи, когда порядок обхода области интегрирования заметно упрощает жизнь.
4.Пример двойного интеграла.
Ну и на последок, давайте возьмем что-то кривое. Я решил ограничиться криволинейной областью, но с постоянной толщиной.
Итак, нам надо при помощи двойного интеграла найти площадь основания фигуры, которая ограничена следующими функциями:
1. y=2
2. y=4
3. y=x-1
4. y=4/x
И вот тут мы приходим ко второму наиважнейшему моменту: в случае криволинейной области интегрирования, пределами интегрирования могут выступать не числа, но функции.
В нашем примере "суммировать ломтики" лучше начинать по оси Y, перед этим выразив x=y+1 и x=4/y:
Я не буду тут давать ответ, так как этот пример и много других не менее интересных вы можете порешать тут: http://mathprofi.ru/dvoinye_integraly_dlya_chainikov.html
5. Понятие аддитивной функции.
Из вышеописанных примеров, можно сделать вывод, что двойной интеграл полезен для определения площади криволинейной области (если функция равна единице), или некоторого объема, если эта функция как-то задана.
Но не только... мы можем представить себе, что у нас по некоторой площади распределена некоторая характеристика, например:
1. по плоскости xy распределена какая-то масса,
2. распределен поверхностный заряд,
3. количество световой энергии, падающую на освещенную поверхность,
4. давление жидкости на дно,
5. количество кабанов на плоскости лужайки...
Функции распределения какой-либо характеристики по области интегрирования являются аддитивными.
Чувствуя эту зависимость, при помощи ∫∫ можно решать следующие задачи:
1. вычисление объема
2. вычисление площади
3. масса пластинки
4. координаты центра масс пластинки
5. моменты инерции пластинки
6. световой поток, падающий на пластинку
7. поток жидкости через поперечное сечение канала.
Об этом всем можно прочесть в параграфе 4 "Применение двойных интегралов" книги Будака и Фомина.
Я же надеюсь, что мне удалось этой статьей нарисовать образ двойного интеграла, а дальше дело за малым: учиться, учиться и еще раз учиться! (с).
PS. Ставь магарычи и бери хоть все мечи.