Помимо того, что индийские математики дали нам понятие нуля, они внесли значительный вклад в изучение тригонометрии, алгебры, арифметики и отрицательных чисел среди других областей. Возможно, наиболее важным является то, что десятичная система, которую мы до сих пор используем во всем мире, была впервые применена в Индии.
Система счисления
Еще в 1200 году до нашей эры математические знания были записаны как часть большого массива знаний, известного как Веды. В этих текстах числа обычно выражались как комбинации степеней десяти. Например, 365 можно было бы выразить как три сотни (3 × 10^2), шесть десятков (6 × 10^1) и пять единиц (5 × 10^0), хотя каждая степень десяти была представлена именем, а не набором символов. Разумно полагать, что это представление с использованием десятичных степеней сыграло решающую роль в развитии десятичной системы счисления в Индии.
Начиная с третьего века до нашей эры, у нас также есть письменные свидетельства о цифрах Брахми, предшественниках современной индийской или индуистско-арабской системы счисления, которой сегодня пользуется большая часть мира. Как только был введен ноль, появилась бы почти вся математическая механика, позволившая древним индийцам изучать высшую математику.
Концепция нуля
Сам Ноль имеет гораздо более долгую историю. Недавно датированные первые записанные нули в том, что известно как рукопись Бахшали, были простыми заполнителями – инструментом, позволяющим отличить 100 от десяти. Аналогичные признаки уже были замечены в вавилонских культурах и культурах майя в первые века нашей эры и, возможно, в шумерской математике еще в 3000-2000 годах до нашей эры.
Но только в Индии символ-заполнитель, обозначающий ничто, превратился в самостоятельное число. Появление концепции нуля позволило записывать числа эффективно и надежно. В свою очередь, это позволило наладить эффективное ведение учета, что означало, что важные финансовые расчеты можно было проверять задним числом, гарантируя честность действий всех участников.
Эти доступные механические инструменты для работы с математическими концепциями в сочетании с сильной и открытой схоластической и научной культурой означали, что примерно к 600 году нашей эры в Индии были созданы все условия для математических открытий.
Решения квадратных уравнений
В седьмом веке первые письменные свидетельства правил работы с нулем были официально изложены в Брахмаспутха Сиддханте. В своем основополагающем тексте астроном Брахмагупта представил правила решения квадратных уравнений и вычисления квадратных корней.
Правила для отрицательных чисел
Брахмагупта также продемонстрировал правила работы с отрицательными числами. Он называл положительные числа состоянием, а отрицательные - долгами. Он записал правила, которые были истолкованы переводчиками как:
“Состояние, вычитаемое из нуля, является долгом” и “долг, вычитаемый из нуля, является состоянием”.
Это последнее утверждение совпадает с правилом, которое мы изучаем в школе: если вычесть отрицательное число, это то же самое, что сложить положительное число. Брахмагупта также знал, что
“Произведение долга и состояния и есть долг” – положительное число, умноженное на отрицательное, является отрицательным.
По большей части европейские математики неохотно признавали отрицательные числа значимыми. Многие придерживались мнения, что отрицательные числа абсурдны. Они утверждали, что числа были созданы для счета, и задавались вопросом, что можно считать с отрицательными числами. Индийские и китайские математики рано поняли, что единственным ответом на этот вопрос были долги.
Например, в контексте примитивного земледелия, если один фермер должен другому фермеру семь коров, то фактически у первого фермера -7 коров. Если первый фермер отправляется покупать животных, чтобы погасить свой долг, он должен купить семь коров и отдать их второму фермеру, чтобы вернуть количество коров к нулю. С тех пор каждая купленная им корова идет к его положительному итогу.
Основы математического анализа
Это нежелание принимать отрицательные числа, да и вообще ноль, сдерживало европейскую математику на долгие годы. Готфрид Вильгельм Лейбниц был одним из первых европейцев, систематически использовавших ноль и отрицательные числа развивая математический анализ в конце 17 века.
Но индийский математик Бхаскара уже открыл многие идеи Лейбница более чем на 500 лет раньше. Бхаскара также внес большой вклад в алгебру, арифметику, геометрию и тригонометрию. Он предоставил множество результатов, например, по решениям некоторых “диофантовых” уравнений, которые не будут заново открыты в Европе в течение столетий.
Школа астрономии и математики Кералы, основанная Мадхавой из Сангамаграмы в 1300-х годах, была ответственна за многие открытия в математике, включая использование математической индукции и некоторые ранние результаты, связанные с математическим анализом. Хотя школа Кералы не разработала систематических правил математического анализа, ее сторонники первыми пришли к пониманию многих результатов, которые позже были повторены в Европе, включая разложения в ряд Тейлора, бесконечно малые величины и дифференцирование.
Скачок, совершенный в Индии, который превратил ноль из простого заполнителя в самостоятельное число, указывает на математически просвещенную культуру, процветавшую на субконтиненте в то время, когда Европа застряла в темных веках. Хотя ее репутация страдает от евроцентричного уклона, субконтинент обладает сильным математическим наследием, которое он продолжает и в 21 веке, предоставляя ключевых игроков на переднем крае каждой отрасли математики.