Задача 010. С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли с помощью таких операций из 1 получить 74?
Решение:
Число 74 можно получить из числа 37 (умножением на 2) или из числа 47 (перестановкой цифр):
74 ← 37 ← 73; 74 ← 47.
Числа 37 и 47 нечетные, поэтому умножением на 2 их получить нельзя. Перестановкой цифр 37 можно получить из числа 73а 47 из 74 (начальное число). 73 — нечетное число, поэтому его также можно получить только перестановкой цифр из числа 37 (тоже уже встречалось). Получается, что 74 применением указанных операций можно получить только из чисел 37, 47 и 73. Таким образом, из 1 нельзя получить 74.
Ответ: нельзя.
Задача 011. Тренер футбольной команды разрешает игрокам самостоятельно выбрать номер, под которым они выйдут на поле. Макс и Сэм, которые не только играют в футбол, но и входят в состав математической команды, останавливаются на особой паре номеров. Когда их номера возводят в квадрат, они дают двузначные числа. Когда два футболиста стоят рядом, образующееся из этих квадратов четырехзначное число также является квадратом простого числа. Какие номера они выбрали?
Решение:
Прежде всего, можно ограничить количество чисел, из которых делается выбор. При возведении в квадрат двузначное число дают числа от 4 до 9, поскольку квадраты 1, 2 и 3 — это однозначные числа, а квадраты 10, 11, …, 31 — трехзначные числа. Таким образом, мы можем выбирать из следующих квадратов: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Начиная с 16 проверим, пара каких квадратов образует при размещении рядом квадрат простого числа. Обратите внимание, если мы оцениваем 1625 (это не квадрат простого числа), то нам нужно оценить и 2516 (тоже не квадрат простого числа). Чтобы выдвинуть обоснованное предположение, нужно в пару к 16 поставить оставшиеся двузначные числа. Если взять пару 16 и 81, то мы получим число 1681, равное 412. Макс и Сэм выбрали в качестве своих номеров числа 4 и 9.
Обратите внимание на то, что числа 3 и 4 тоже работают, так как 32 = 9, а 42 =16. При размещении рядом друг с другом эти квадраты дают число 169, которое является квадратом простого числа. Однако в условиях задачи говорится о четырехзначном числе, так что этот ответ исключается.
Задача 012. Максим начинает отсчитывать натуральные числа в порядке увеличения: 1, 2, 3, 4, …, а Саша ведет отсчет с той же скоростью, но в обратном порядке от числа x: x, x – 1, x – 2, x – 3, x – 4, … Когда Максим доходит до 52, Саша называет число 74. С какого числа (x) Саша начал обратный отсчет?
Решение:
Столкнувшись с такой задачей, многие пытаются воспроизвести описанную ситуацию, то есть выполнить одновременно процедуры отсчета, чтобы посмотреть, какой получится результат. Сложность здесь, однако, заключается в том, что начальное число для обратного отсчета неизвестно, поэтому, скорее всего, будут использоваться прямой отсчет и метод последовательного приближения. Это не только долго, но и очень трудно.
Заметим, что Максим отсчитал 52 числа, а значит и Саша отсчитал такое же количество чисел. Можно представить 52-е число Саши как x – 51. Как известно, это число равно 74. Таким образом, мы получаем уравнение x – 51 = 74, из которого следует, что x = 125.
Задача 013. Средний результат Марины в 11 тестах равен 80. При определении итогового среднего результата учительница проявляет благосклонность и отбрасывает низший результат. В нашем случае она отбрасывает 30. Какой итоговый средний результат у Марии?
Решение:
Будем двигаться от среднего результата Марины. Среднее (или среднее арифметическое) обычно определяется путем сложения всех результатов и деления суммы на количество результатов. Если средний результат 11 тестов равен 80, то сумма результатов 11 тестов должна составлять 11 × 80 = 880. (Обратите внимание на то, что мы умножаем на 11, т.е. выполняем обратное действие по отношению к первоначальному делению на 11.) Вычтем результат 30, который учительница отбросила, и уменьшим количество тестов на единицу. Таким образом, суммарный результат 10 тестов равен 850. Итоговый средний результат Марины равен: 850 : 10 = 85.
Задача 014. Два поезда, находившиеся на расстоянии 800 км друг от друга, сближаются по одной колее и идут с постоянной скоростью 60 и 40 км/ч соответственно. С ветрового стекла одного локомотива в начальный момент движения взлетает муха и принимается летать со скоростью 80 км/ч вперед и назад между поездами, пока те, столкнувшись, не раздавят ее. Какое расстояние успевает пролететь муха до столкновения?
Решение:
Эта задача может напомнить известные примеры, однако в ней есть необычный момент, отсутствующий в подобных задачах на равномерное движение. Естественно, возникает желание определить отдельные расстояния, которые пролетала муха. Первой реакцией является составление уравнения на основе знакомой формулы: «скорость, умноженная на время, дает расстояние». Однако определение этого пути туда-обратно довольно сложное дело и связано с большим объемом вычислений. В любом случае, решить задачу подобным образом очень сложно.
Значительно более изящный подход предполагает другое решение. Мы ищем расстояние, которое пролетела муха. Если знать время, в течение которого летала муха, то определить пройденное расстояние будет легко, поскольку скорость мухи известна.
Время полета мухи узнать несложно, так как оно равно времени движения поездов до столкновения. Для определения времени t движения поездов составим следующие уравнения.
Расстояние, пройденное первым поездом равно 60t, а второго — 40t. Суммарное расстояние, пройденное поездами, составляет 200 км. Таким образом, 60t + 40t = 800, а t = 8 часам. Иначе говоря, муха летала 8 часов. Теперь можно найти расстояние, которое пролетела муха: 8 × 80 = 640 км. Внешне невероятно трудное задание определить расстояние, пройденное летающей туда-сюда мухи, было сведено к довольно обычной задаче «на равномерное движение», решение которой очевидно.
Задача 015. В Вашем распоряжении 11-литровый и 5-литровый сосуды. Как можно отмерить точно 7 литров воды?
Решение:
В конечном итоге нам нужно получить 7 литров воды в 11-литровом сосуде, оставив свободным пространство объемом 4 литра. Откуда взялись эти 4 литра? Чтобы получить 4 литра, мы должны оставить 1 литр воды в 5-литровом сосуде. Но как получить 1 литр в таком сосуде? Наполните 11 -литровый сосуд водой и дважды отлейте воду в 5-литровый сосуд. В 11-литровом сосуде останется ровно 1 литр воды. Вылейте этот 1 литр в 5-литровый сосуд. Теперь наполните 11-литровый сосуд и отлейте из него 4 литра воды в 5-литровый сосуд до его заполнения. В 11-литровом сосуде останутся требуемые 7 литров воды.
Учтите, что задачи подобного типа не всегда имеют решение. Иначе говоря, если вы хотите составить новую задачу такого вида, следует знать, что решение существует только в тех случаях, когда разница величин, кратных емкостям двух сосудов, может быть равной заданному объему. В нашем случае 2 × 11 – 3 × 5 = 7.
Задача 016. Как проще всего отмерить 15 минут, необходимые для варки яиц, имея под рукой семи- и 11-минутные песочные часы?
Решение:
Приведем два возможных решения. Первое из них является оптимальным с точки зрения продолжительности всех операций, второе — с точки зрения того, сколько раз приходится переворачивать часы.
1. Положив яйцо в воду, пустите одновременно семи- и 11-минутные часы. По истечении 7 минут переверните семиминутные часы в первый, а по истечении 11 минут (когда весь песок из верхней половины 11-минутных часов пересыплется в нижнюю половину) — во второй раз. Песок перестанет пересыпаться из верхней половины семиминутных часов в нижнюю как раз к концу пятнадцатой минуты.
2. Перевернув одновременно семи- и 11-минутные часы, начинаем отсчет времени. После того как верхняя половина семиминутных часов опустеет, кладем яйцо в воду. Дождавшись, когда весь песок из верхней половины 11-минутных часов пересыплется в нижнюю, переворачиваем их. Когда верхняя половина 11-минутных песочных часов снова опустеет, с момента начала варки яиц пройдет ровно 15 минут.
Задача 017. Даны целые числа от –100 до +100. Сколько таких чисел при возведении в квадрат имеют цифру 1 в разряде единиц?
Решение:
Первая естественная реакция — начать с выписывания всех целых чисел от 1 до 100. Затем их по очереди возвести в квадрат и подсчитать те, у которых в конце стоит 1. Результат после этого удвоить, чтобы учесть числа от –1 до –100.
Воспользуемся стратегией учета всех возможностей. Единственными числами, квадраты которых могут иметь цифру 1 в разряде единиц, являются те, что оканчиваются на 1 или 9.
Таким образом, существует всего 20 возможностей, а именно 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89 и 99.
Удвоив это количество, чтобы учесть все возможности в отрицательном диапазоне, мы получаем ответ — 40 целых чисел.
Задача 018. Имеется четыре предмета попарно различных масс. Как с помощью чашечных весов без гирь пятью взвешиваниями расположить все эти предметы в порядке возрастания массы?
Решение:
Если действовать линейно, то потребуется шесть взвешиваний. Действительно, чтобы выяснить, какой из двух предметов легче, а какой тяжелее, достаточно одного взвешивания. Чтобы добавить к ним третий предмет, нужно, вообще говоря, два взвешивания — третий с первым и третий со вторым. Чтобы к трем упорядоченным добавить четвертый предмет, необходимо уже три взвешивания — четвертого предмета с каждым из первых трех. Итого 6 взвешиваний. А надо использовать только 5 взвешиваний.
Чтобы сэкономить одно взвешивание, разделим предметы на группы. Поскольку предметов четыре, разобьем их на две группы по два предмета в каждой. За два взвешивания — по одному на каждую группу — мы расположим предметы в порядке возрастания массы в группах. Для простоты дальнейших записей обозначим предметы из первой группы a1 и a2, причем a1 легче a2 (будем писать a1<a2), а предметы из второй группы — b1 и b2 (b1<b2).
Теперь предметы из второй группы будем по очереди добавлять в первую группу. Возьмем более легкий предмет b1 из второй группы и третьим взвешиванием сравним его с более легким предметом a1 из первой группы. Возможны два случая:
ПЕРВЫЙ СЛУЧАЙ. a1<b1. Тогда четвертым взвешиванием b2 с a2 устанавливаем порядок.
ВТОРОЙ СЛУЧАЙ. b1<a1. Тогда не более чем двумя взвешиваниями b2 с a2 и затем, если потребуется, с a1, полностью устанавливаем порядок.
Таким образом, при любом раскладе нам потребуется не более пяти взвешиваний.
Задача 019. Три охотника несколько дней подряд провели в тайге на охоте. В последний день охоты утром случилась неприятность: переходя вброд небольшую речушку два охотника подмочили свои патронташи. Часть их патронов оказалась негодной к употреблению. Три друга поровну поделили между собой сохранившиеся патроны. После того как каждый охотник сделал четыре выстрела, у всех охотников вместе осталось столько патронов, сколько было после дележа у каждого. Сколько всего пригодных патронов было в момент дележа?
Решение:
После того, как охотники втроем израсходовали 3×4 = 12 патронов, у них осталось в совокупности столько патронов, сколько было после дележа у каждого, то есть одна треть от исходного количества. Значит, они израсходовали две трети патронов. Если 12 — это две трети, то одна треть — это 6, а всего в момент дележа было 6 × 3 = 18 годных патронов.
Задача 020. За сколько вопросов можно наверняка отгадать целое число, заключенное между 1 и 64, если на вопросы отвечают только «да» и «нет»?
Решение:
Следует придумать такой вопрос, чтобы после получения ответа на него количество возможных вариантов уменьшалось в два раза.
Если спросить, находится ли загаданное число в первой половине данных чисел, расположенных по возрастанию, то при положительном ответе число возможных вариантов сузится до первой половины данных чисел, а при отрицательном — до второй. То есть число вариантов в любом случае уменьшится в два раза, т. е. до 32.
Если спросить, находится ли загаданное число в первой половине уже отобранных чисел, расположенных по возрастанию, то при положительном ответе число возможных вариантов сузится до первой половины отобранных чисел, а при отрицательном — до второй. То есть число вариантов в любом случае уменьшится еще в два раза, т. е. до 16.
Задав еще раз такой вопрос, уменьшим количество возможных вариантов до 8, затем до 4, затем до 2 и, наконец, до одного варианта.
В итоге нам понадобится задать 6 вопросов.
Ответ: За 6 вопросов.