Задача 001. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?
Решение:
1) 82+31+78=192 (чел.) – удвоенное число учеников, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;
2) 192:2=96 (чел.) – поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;
3) 96−32=64 (чел.) – поют в хоре;
4) 96−78=18 (чел.) – занимаются танцами;
5) 96−82=14 (чел.) – занимаются художественной гимнастикой.
Ответ: 64 ученика поют в хоре, 14 учеников занимаются художественной гимнастикой, 18 учеников занимаются танцами.
Задача 002. Родительский комитет детского сада решил закупить конфеты для новогодних подарков для 100 детей. Было решено сделать подарки на сумму 150 рублей. На оптовой базе они выбрали конфеты по цене 225, 135 и 180 рублей за килограмм. Каждая конфета в среднем весит 10 граммов. Сколько конфет каждого вида необходимо купить родительскому комитету?
Решение:
Решим эту задачу схематическим способом, который разработал Л.Ф. Магницкий.
Запишем в столбик друг под другом цены двух сортов конфет в порядке возрастания: 135 р. и 180 р., в центре второго столбика запишем цену смеси конфет: 150 рублей. В третий столбик запишем модуль разности чисел 180 и 150, 150 и 135.
Получившиеся результаты разделим на НОД самих чисел 30 и 15, т.е. на 15, получим 2 части и 1 часть, эти результаты запишем в 4 столбик. Аналогично поступим с конфетами по 225 р.
Мы получили две схемы, значит конфет по 135 р. необходимо 2+5=7 частей, по 180 р. – 1 часть, по 225 р. – 1 часть.
Этот способ у Л.Ф. Магницкого называется «правилом крестика».
Эти части означают, что если на 100 детей распределить по 1 конфете массой 10 граммов, то потребуется 1 кг по 180 р., 1 кг по 225 р., 7 кг по 135 р.
Задача 003. Имеется двузначный квадрат целого числа. Если вставить одну цифру между существующими двумя, то получится трехзначный квадрат целого числа. Какие трехзначные квадраты чисел мы получаем?
Решение:
Проанализируем все возможности. Прежде всего, составим исчерпывающий список двузначных квадратов целых чисел, их шесть:
16, 25, 36, 49, 64, 81.
Теперь составим исчерпывающий список трехзначных квадратов целых чисел:
100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961.
Выберем из второго списка те числа, которые можно составить, вставив какую- либо цифру между первой и второй цифрами двузначных квадратов целых чисел. Такому условию удовлетворяют только 196 (вставлена 9 между цифрами числа 16), 225 (вставлена 2 между цифрами числа 25) и 841 (вставлена 4 между цифрами числа 81). Два исчерпывающих списка сделали очевидными все возможности. Обратите внимание на то, что исчерпывающий список не только содержит ответ задачи, но ограничивает количество исследуемых возможностей.
Задача 004. На столе стоят два стакана. Первый стакан пуст, а во втором налито немного воды. Половину содержимого второго стакана переливают в первый. Это повторяется еще дважды: каждый раз половину воды, которая осталась во втором стакане, переливают в первый. После трех таких переливаний первый стакан оказался наполовину полон. Сколько воды осталось во втором стакане?
Решение:
Ясно, что количество переливаемой воды каждый раз уменьшалось вдвое. Посмотрим на процесс с конца:
1. В третий раз перелили одну «часть» воды.
2. Во второй раз перелили две «части» воды.
3. В первый раз перелили четыре «части» воды.
Таким образом, после трех переливаний в первом стакане оказалось 7 «частей» воды, а в первом — одна «часть».
Семь «частей» составляют половину стакана, то есть одна «часть» равняется 1/14 стакана. Значит, после трех переливаний во втором стакане осталась 1/14 стакана.
Задача 005. У нас 100 кг свежих ягод, в которых 99% массы приходится на воду. Через некоторое время содержание воды в ягодах уменьшается до 98%. Сколько теперь весят ягоды?
Решение:
Чаще всего говорят, что после испарения 1% воды вес ягод должен уменьшиться до 99%, а значит ягоды весят 99 кг. Это неправильно.
Исходно в ягодах содержится 99% воды, т.е. в них 99 кг воды и 1 кг сухого вещества, иначе говоря, масса сухих ягод составляет 1%. Масса сухого вещества не меняется: в конце процесса сушки она так и останется равной 1 кг. Вместе с тем доля того, что не является водой, удваивается до 2%.
Для того, чтобы нечто, имеющее фиксированное количество (1 кг сухого вещества в нашем случае), удвоило свою долю (с 1% до 2%), суммарное количество смеси должно уменьшиться в два раза. В начале у нас был 1% сухого вещества, или 1/100, а в конце — 2%, или 2/100 = 1/50, т.е. мы получаем 1 кг сухого вещества в 50 кг суммарной массы. Таким образом, в конце в ягодах остается 49 кг воды.
Задача 006. Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?
Решение:
Данную задачу можно решить арифметическим способом. Вычислим скорости автомобилей 𝑉1=450:9=50 км/ч, 𝑉2=450:4,5=100 км/ч, 𝑉сближения=50+100=150 км/ч, 𝑡=𝑆:𝑉=450:150=3 часа.
Решим ее графически. По оси ординат отложим расстояние, а по оси абсцисс время. Движение автомобилей изобразим в виде двух прямых, выходящих навстречу друг другу.
Читаем с чертежа ответ: автомобили встретятся через 3 часа.
Задача 007. Найдите все пары простых чисел, сумма которых равна 955.
Решение:
Если сумма двух чисел является нечетным числом, то одно из слагаемых должно быть нечетным, а другое — четным. Как известно, существует только одно четное простое число — 2. Значит, другим числом должно быть 953 (а 953 — это простое число). Таким образом, мы нашли все пары, которые удовлетворяют условиям задачи.
Задача 008. Палиндромическим называют такое число, которое читается одинаково слева направо и справа налево. Примерами трехзначного и четырехзначного палиндромов являются 252 и 9779.
Маша выписала все трехзначные палиндромы на листочки бумаги и положила их в большую коробку. Миша выписал все четырехзначные палиндромы и положил листочки с числами в ту же коробку. Учитель тщательно перемешал листочки и попросил Лену взять один из них не глядя. Какова вероятность того, что она вытащит четырехзначный палиндром?
Решение:
Один из способов решения — выписать все трехзначные и четырехзначные палиндромы, пересчитать их и определить искомую вероятность. Такой подход дает надежный результат, хотя и требует времени. Вместе с тем логическое рассуждение позволяет упростить работу. В качестве примера трехзначного палиндрома можно взять 252. Чтобы превратить его в четырехзначный палиндром, нужно всего лишь удвоить среднюю цифру — 2552. Повторяя это действие, мы можем превратить каждый трехзначный палиндром в четырехзначный. Таким образом, количество четырехзначных палиндромов равно количеству трехзначных, и вероятность выбора листочка с четырехзначным палиндромом составляет один из двух, или 0,5.
Задача 009. В парке посадили в ряд аллею деревьев. Через год между любыми двумя соседними деревьями посадили еще по одному. Еще через год проделали то же самое. Стало 1197 деревьев. Сколько их было изначально?
Решение:
Если в ряд растут несколько деревьев, то мест между ними для посадки новых на 1 меньше, чем деревьев в ряду. Пусть перед тем, как деревья сажали третий раз, их уже было x. Значит, добавилось еще x – 1 дерево. Так как их стало 1197, то x + x – 1 =1197, x = 599. То есть, за год до того, как деревьев стало 1197, их было 599. Дальше будем рассуждать аналогично. Пусть сначала (то есть за год до того, как деревьев стало 599) их было y. Получаем, что 2y – 1 = 599. Тогда y = 300. Значит, изначально деревьев было 300.
Ответ: 300.
Задача 010. С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли с помощью таких операций из 1 получить 74?
Решение:
Число 74 можно получить из числа 37 (умножением на 2) или из числа 47 (перестановкой цифр):
74 ← 37 ← 73; 74 ← 47.
Числа 37 и 47 нечетные, поэтому умножением на 2 их получить нельзя. Перестановкой цифр 37 можно получить из числа 73а 47 из 74 (начальное число). 73 — нечетное число, поэтому его также можно получить только перестановкой цифр из числа 37 (тоже уже встречалось). Получается, что 74 применением указанных операций можно получить только из чисел 37, 47 и 73. Таким образом, из 1 нельзя получить 74.
Ответ: нельзя.