(отрывок из одного семинара)
Время от времени слышу два противоположных мнения относительно юриспруденции и юстиции. Сразу оговорюсь, что юриспруденция это наука о закономерностях правовой объективности, а юстиция это инженерная дисциплина воздействия на права и свободы с применением законов как естественных (закономерностей, открытых юриспруденцией), так и положительных; они вовсе не всегда, к сожалению, соответствуют друг другу. Одно из них выглядит так: «Я ничего в этом не понимаю и понимать не могу, потому что я — не юрист». Второе: «Никакого специального образования юристу не требуется, а надо просто знать язык, на котором написаны законы».
Как чаще всего бывает, и то и другое утверждение, взятое само по себе, взятое как абсолютное, — неверно. Дело в том, что знания, именно знания о содержании норм, действительно, доступны всем, кто в состоянии прочесть текст на языке, на котором изложены нормы. Ну, скажем, просто потому, что никаких «секретных» законов, которые были бы обязательны для всех, нет, и, да, действительно, в этом смысле для прочтения норм не требуется никакой эзотерики, никаких таких тайных знаний. В этом смысле любая норма всегда может быть известна субъекту. Однако, как верно заметил Г.В.Ф. Гегель, быть познанным ещё не значит быть понятым. А от себя добавлю, что даже при понимании чего-либо как объекта, для оперирования с ним необходимым является не только понимание, то есть выражение в понятиях (а не просто в словах!), но ещё и навыки оперирования с такого рода объектами.
Для того, чтобы продемонстрировать чем знание и даже понимание отличаются от навыка, я сейчас приведу пример, в котором любой, кто закончил среднюю школу, сможет уловить это различие, различие, которое характерно не только для демонстрируемого примера, но и для юриспруденции и юстиции.
Сейчас я сформулирую утверждение, а затем докажу его, используя исключительно и только знания в объёме восьми классов средней школы. Обычной школы, вовсе не физико-математической. Но прежде, чем вы заглянете в это доказательство... попытайтесь доказать сформулированное утверждение самостоятельно. Я-то знаю, что ничего, кроме знания по математике в объёме не более восьми классов средней школы для такого доказательства не требуется.
Итак, само утверждение.
Если ряд является условно сходящимся, то всегда можно так переставить его члены, что этот ряд будет сходиться к любому, наперёд заданному числу.
Поскольку в школе не обязательно рассказывают о том, что такое ряд, что такое условно сходящийся ряд, что такое «ряд сходится», то введу эти понятия сейчас, используя исключительно объём знаний восьми классов.
1. Предел последовательности это такое число, что для любого наперёд заданного числа всегда существует такой член последовательности, абсолютная величина разности с которым у числа, которое именуем пределом, будет строго меньше этого наперёд заданного числа и то же самое будет выполнено для любых членов последовательности, которые следуют за таким членом.
2. Ряд это сумма членов некоторой последовательности, если эта последовательность бесконечная, то под рядом мы понимаем предел последовательности, составленной из частичных сумм этого ряда.
3. Частичной суммой ряда мы называем конечную сумму первых n подряд идущих членов этого ряда.
4. Ряд называется сходящимся, если предел суммы его членов равен конечному числу.
5. Ряд называется расходящимся, если не существует такого конечного числа, которое было бы ему равно пределу суммы его членов.
6. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходящийся, а ряд составленный из абсолютных величин его членов, — расходящийся.
Ну, вот, скажем, пока всё из того нового, чего не было, быть может, известно, восьмикласснику. Заметьте, я, давая определения, не сказал ничего такого, что ему не было бы известно. Не так ли?
Что ж... поехали дальше.
Будем называть n-ым остатком ряда ряд, в который входят члены исходного ряда, начиная с n+1 члена, без изменения их порядка в последовательности относительно друг друга. Тут ясно, что ряд равен сумме его любой частичной суммы и остатка этого ряда, соответствующего этой частичной сумме.
Заметим, что если ряд сходится, то предел последовательности, составленной из его остатков без изменения порядка в исходной последовательности относительно друг друга, непременно равен нулю. Но отсюда следует, что необходимым условием сходимости ряда является то, что предел последовательности, составленной из его остатков без изменения порядка в исходной последовательности относительно друг друга, равен нулю. Внимательно: необходимым, но ещё вовсе не достаточным!
То есть,
если ряд сходится,
то предел последовательности его остатков, составленной без изменения исходного порядка относительно друг друга, равен нулю.
Поскольку мы говорим об условно сходящемся ряде, то можно смело утверждать, что из последовательности его членов, без изменения их порядка следования относительно друг друга можно составить две последовательности: одну — из положительных членов и вторую — из абсолютных величин отрицательных членов. Тогда исходный условно сходящий ряд можно представить как разность рядов из положительных членов (уменьшаемое) и абсолютных величин отрицательных членов (вычитаемое).
Поскольку мы рассматриваем именно условно сходящийся ряд, то и ряд из положительных членов и ряд из абсолютных величин отрицательных членов непременно расходятся, как расходятся и последовательности остатков этих двух рядов. Это значит, что в каждом из этих двух рядов — составленного из положительных членов исходного условно сходящегося ряда, так и составленного из абсолютных величин отрицательных членов этого условно сходящегося ряда находится бесконечно много членов. Значит, начиная с любого места любого из этих рядов всегда можно набрать столько членов, чтобы их сумма всегда оказалась больше любого наперёд заданного числа.
Вот, используя всё это, и произведём перестановку исходного условно сходящегося ряда так, чтобы его сумма была равна какому-то наперёд взятому числу.
Первым шагом возьмём столько положительных членов ряда, не меняя их порядок в исходной последовательности относительно друг друга, чтобы их сумма превзошла это наше наперёд заданное число. Остановимся в наборе как только эта сумма (заметим, это — частичная сумма ряда, составленного из положительных членов исходного ряда!) окажется больше наперёд взятого числа. Так как положительных членов бесконечно много, мы всегда можем это сделать.
Вторым шагом запишем следом за этим рядом столько отрицательных членов ряда исходной последовательности, не изменяя их порядка в последовательности относительно друг друга, чтобы общая сумма получившегося ряда оказалась меньше нашего наперёд заданного числа.
Если этот процесс мы мысленно продолжим до бесконечности, то мы задействуем решительно все члены исходного условно сходящегося ряда. Но при этом, если всякий раз, выписывая положительные и отрицательные члены, брать их не больше, чем требуется для соответствующего неравенства и переходить от второго шага к первому, а от первого ко второму, то всякий раз абсолютная величина разницы между любой частичной суммой нового ряда и нашим наперёд заданным числом не будет больше последнего написанного члена.
А мы помним два обстоятельства:
во-первых любой из этих написанных членов входит в остаток или ряда, составленного из положительных членов исходного ряда, или ряда, составленного из отрицательных членов исходного ряда, взятых по абсолютной величине,
во-вторых, каждый из таких членов этих двух рядов будет входить в некоторый остаток исходного ряда.
Но мы помним, что мы говорим об условно сходящемся исходном ряде, а это значит, что, как мы видели выше, предел последовательности, составленной из его положительных членов, равен нулю, и предел последовательности, составленной из абсолютных величин его отрицательных членов, также равен нулю. И это значит, что и предел последовательности частичных сумм вот таким образом составленного нами ряда из ряда исходного путём простой перестановки членов будет равен разности между заранее выбранным нами числом и нулём, иными словами именно этому самому заранее выбранному нами числу.
Что и требовалось доказать.
Заметьте, паки и паки заметьте, что я нигде не перешагнул школьной программы за пределы восьми классов. Мало того, я даже не использовал ни одного формализма для записи приведённых выкладок, то есть пошёл в направлении буквально противоположному Н. Бурбаки, а, доложу я вам, что совсем, в общем-то, до недавнего времени, скажем, ещё во времена Л. Ф. Магницкого (кстати, в 1685—1694 годах Леонтий Магницкий учился в Славяно-греко-латинской академии. Но математика там не преподавалась. По всей видимости, Леонтий Филиппович свои математические познания приобрёл путём самостоятельного изучения: «наукам научился дивным и неудобовероятным способом», а, между тем, именно Л.Ф. Магницкий в русский язык привнёс такие уже обычные для нас термины как множитель, делитель, произведение, извлечение корня, миллион, биллион, триллион, квадриллион, знаменатель, дробь, что вполне демонстрирует то, что в математике не существует решительно ничего умонепостигаемого... при желании и тщании) математики рассуждали именно вот так, без всяких особых общепринятых обозначений, записывали всё словами. Всё то, о чём я говорил, я определил строго на базе именно восьми классов средней школы... Тем не менее, я не совсем уверен, что всякий, кто закончил среднюю школу, сможет вот так вот доказать исходное утверждение, которое вообще-то прямо противоречит утверждению, что «от перемены мест слагаемых сумма не меняется». Получается так, что иной раз очень даже меняется!
Но если вы хотя бы разобрались в том, что я только что рассказал, то поздравляю вас всех — вы только что доказали теорему Римана об условно сходящихся рядах.
Смею вас заверить:
перед вами — текст на русском языке,
все слова любому русскоговорящему тут понятны,
ничего умонепостигаемого тут нет,
нет тут и обмана,
нет тут и какого-то тайного знания,
но...
сложность возникает исключительно из того, что для операций с использованными объектами большинству не хватает не знаний, знания как раз есть, и даже не понимания, понимания тут требуется немного, а исключительно навыков работы с такими объектами.
Вот ровно то же самое можно сказать и тем юристам, которые снобистски фыркают: «Читайте закон, там всё написано!», что по моему мнению есть просто хамство, и тем, кто полагает, что одно только чтение кодексов на ночь превращает вас в юриста.
А хотите проверить поняли Вы или не поняли написанное? Если хотите, то скажите — какого определения тут не хватает?
Только не требуйте определения числа, его вам точно никто не даст.