Рассмотрим N предметов, которые будем считать неделимыми (но они могут быть и разными). Все эти предметы могут образовывать группы (множества) содержащие какое-то количество предметов. Тогда, мы можем получить N различных множеств, содержащих 1 предмет (единичных множеств). Класс всех таких единичных множеств обозначим как m1. Далее, класс всех множеств, содержащих 2 любых предмета (порядок расположения предметов не имеет значения), назовём m2, и т. д. Класс всех множеств, содержащих N предметов (такое множество будет одно), назовем mN.
Т. о. мы имеем классы m1, m2, m3... mN, которые содержат разное количество множеств предметов.
Каждому из N предметов, дадим имя a1, a2, a3.... aN. Каждое сочетание предметов обозначим символом "&", тогда класс m2 будет содержать, например, такие группы (множества): а1&а2, а1&а5, а2&аN, и т. д. Класс m3 -, например, такие: а1&а3&а7, а3&а7&а9и т. д.
Рассмотрим класс mх. Можно видеть, что для каждого множества из класса mx, существует ровно одно множество из класса m(x-1) и ровно одно множество из класса m1 такие, что взятые вместе они образуют это множество из класса mx. Запишем этот факт таким образом: m1 + m(x-1) = mx.
Рассмотрим класс m2. Очевидно, что для каждого множества из класса m2, найдутся ровно два различных множества из класса m1, такие что, взятые вместе, они образуют это множество из класса m2. Этот факт запишем так: m1 + m1 = m2.
Т. о. мы имеем следующие два правила:
m1 + m1 = m2.
m(x-1) + m1 = mх.
Откуда, m4 = m3 + m1 = m2 + m1 + m1 = m2 + m2.
класс m1 - это число 1, класс m2 - число 2, класс mx - число x.
Таким образом, 4 = 2 + 2
Число х - это класс всех множеств, состоящих из х различных предметов, взятых среди N всех предметов.
Другими словами, число х - это сочетание любых х различных предметов, взятых среди N всех предметов.
Данное определение числа дал Рассел, усовершенствовав первое логическое определение числа, данное Фреге. Это определение реализовано Расселом и Уайтхедом в Principia Mathematica.
Ставьте лайки, делайте комментарии и не забудьте подписаться на канал!