Хорошенький такой вопрос от одиннадцатиклассника, который планирует сдавать профильный ЕГЭ по математике, за полгода до часа икс. И он такой не один. Понятия деления и делимости так тесно переплетены в головах школьников, что они жёстко связывают "не делится"="нельзя разделить". При этом бывает и обратная ситуация, когда на вопрос "делится ли 3 на 2?" такие полуфабрикаты, выпускаемые школой, отвечают "да, получится полтора" (а в этом ответе, как говорится, прекрасно отвратительно всё).
Но мы тут о том, что у выпускников школ в массе своей напрочь неразвито то самое пресловутое "чувство числа". Дробь для большинства из них - это такая картинка с чёрточкой, над и под которой стоят какие-то цифры числа. Поэтому многим интуитивно не нравится, что в текстовой задаче (про "реальную жизнь") в ответе нагло появляется 3/2 метра ткани или килограмма алюминия. Но тут им на выручку спешит десятичная дробь 1,5 - это тоже картинка, но немного более родная и близкая, поэтому истерика временно отступает.
А что делать, если делить придётся 7 на 3? Шаблон рвётся в клочья, а на глаза наворачиваются слёзы - калькулятор выдаёт 2,333333333333333 - и только те, кто в 6 классе не хлопал ушами, вспоминают что-то про 2,(3). Но смешанного числа не вспомнит никто (никто из тех, у кого изначально возникла проблема с делением - те, кто знает, что разделить 7 на 3 вполне можно, обычно знают все способы полученное при этом частное записать).
Понятие делимости, деления и деления с остатком в школе идут вперемешку и переплетены так, что ни один школьник не сумеет самостоятельно увидеть, что это разные вещи, и разграничить их. Тем более, что обычное деление и деление с остатком выполняются (до поры) одинаково - как сейчас говорят, "уголком" (а меня учили что всё-таки "столбиком"), только при целочисленном делении мы останавливаемся, записав остаток, а при обычном - ставим в частном запятую и продолжаем делить до бесконечности (а некоторые дети иногда спрашивают - "а что, если оно так и не зациклится?" - потому что нет у них ни интуитивного восприятия бесконечности, ни воспоминания о природе рациональных чисел).
Понятие делимости
По определению мы говорим, что число a делится на число b, если существует такое целое число с, что а равно произведению b и с:
Если рассматривать действие деление как обратное к умножению, то именно это с и будет частным от деления a на b. НО в целых числах частное определено лишь в случае делимости, а вот в рациональных числах и выше (вещественных/действительных, комплексных и т.д.) - всегда. Поэтому определение делимости в рациональных числах и выше не имеет смысла. Но в силу сходства слов "делить" и "делиться", чтобы школьники не путались, вместо простого слова "делится" им дают понятие "делится нацело", подчёркивая связь с делением и одновременно окончательно запутывая их.
Деление с остатком
Допустим, мы поняли про делимость и даже научились делить в рациональных числах. А что делать, если при делении не получилось целое частное? В рамках целых чисел, кажется, что остаётся только плакать, но имеет место теорема:
Именно эти q и r мы находим, если при делении в столбик вовремя остановимся и не будем погружаться в дробные части - это неполное частное и остаток, а сам же процесс деления в этом случае переименовывается в деление с остатком. И может показаться, что всё это - бесполезное словоблудие, но на самом деле в этих словах, как в трёх соснах, очень легко заблудиться.
По ссылке выше - мой базовый курс по делимости на Stepik, в котором понятия делимости и деления с остатком рассмотрены подробно и с примерами. Курс этот задуман как прививка от вышеозначенных проблем с делимостью и делением. Доступ по промокоду, зашитому в ссылку, до конца марта.