Поговорим о логических миражах – конструкциях «и да, и нет», «ни да, ни нет». Издалека кажется: вот они, на горизонте. Подойдёшь ближе с желанием получше разглядеть – и растаяли они.
В двоичной логике с алфавитом (0,1) («нет», «да») конструкциям «и да, и нет», «ни да, ни нет» место не оставлено. Возможны ли эти конструкции в недвоичных логиках? Начнём нашу гонку за миражами с самого простого примера.
Парадокс размышлений о чувствах девушки
Юноша размышляет о неровных чувствах девушки к нему. То проявляет интерес, то равнодушна. Верно ли, что она неравнодушна к нему?
Перед нами парадокс второго рода в двоичной логике. Недосказанность в том, что понятие «неравнодушна» оставлено расплывчатым. У юноши есть основания ответить «да». Но есть также основания ответить «нет». На первый взгляд кажется, что возможен ответ «и да, и нет» в смысле «временами неравнодушна, временами равнодушна», и возможен ответ «ни да, ни нет» в смысле «неверно, что постоянно неравнодушна, и неверно, что постоянно равнодушна».
Однако, возможность «временами неравнодушна (а временами равнодушна)» имеет своим отрицанием не саму себя, а пару возможностей «постоянно неравнодушна» и «постоянно равнодушна». А «постоянно неравнодушна» имеет своим отрицанием не только «постоянно равнодушна», но и «неравнодушна и равнодушна попеременно». Миражи «и да, и нет», «ни да, ни нет» исчезают, как только мы уточняем, что значит неравнодушна.
Рассмотрим второй пример. Этот парадокс обнаружен много столетий назад и автор его неизвестен. Скорее всего это был учитель в одной из европейских стран в те времена (12–15 век), когда Европа перенимала у Индии транзитом через Ближний Восток десятичную систему счисления и цифры, именуемые сейчас арабскими, европейцы стали рисовать по-своему.
Парадокс девятки
Учитель рисует на маленькой доске девятку и спрашивает учеников:
– Нарисованная цифра меньше семи?
Раздаются дружные возгласы:
– Нет! Конечно нет!
Тогда учитель переворачивает доску.
– А теперь?
– Да! Конечно да!
Верно ли, что нарисованная на доске цифра меньше семи?
Что это? Неужели «да» совместилось с «нет» (6 меньше 7 и неверно, что 9 меньше 7), а отрицание «да» совместилось с отрицанием «нет» (неверно, что 9 меньше 7 и неверно, что неверно, что 6 меньше 7)?
Спокойствие, только спокойствие. Перед нами парадокс второго рода в двоичной логике. В описании исходной ситуации имеется недосказанность. Дело в том, что на доске нарисована не одна цифра, а две одной линией. И слова «нарисованная цифра» можно понимать по-разному: одна из цифр, каждая из цифр, случайно выбранная цифра и т.д. При первом домысливании ответ на итоговый вопрос «безусловно да». При втором домысливании – «безусловно нет». При третьем для ответа в двоичной логике не хватает информации, а в троичной логике ответом может быть «как фишка ляжет». Миражи «и да, и нет», «ни да, ни нет» снова исчезают.
Заметим, что парадокс девятки при угловатом начертании десятичных цифр не возникает, если число углов в начертании цифры совпадает с изображаемым цифрой числом.
Рассмотрим третий пример. Скорее даже притчу.
Парадокс аборигенов
На плоскости внутри большого круглого оазиса живут находящиеся в ней целиком продолговатые аборигены. Временами к ним в оазис захаживают путешественники из пустыни, окружающей оазис. Однажды между двумя аборигенами случается диалог.
– Ты уже видел того, кто пришёл и третий день неподвижен?
– Да! Он похож на нас. Он перпендикулярен оси X.
– Я тоже его видел! Он перпендикулярен оси Y.
Диалог слышит третий абориген, доктор местных наук.
– Что вы тут мелете! Если кто-то неподвижен и перпендикулярен оси X, то он непременно параллелен оси Y. Я об этом диссертацию написал!
Прав ли доктор местных наук?
Для доктора местных наук безупречно следующее двоичное мировосприятие. Назовём отрезок палкой, если он перпендикулярен какой-нибудь из двух координатных осей на плоскости. Для палки, находящейся на плоскости с этими осями, ситуация № 1 «палка перпендикулярна оси X и параллельна оси Y» противоположна ситуации № 2 «палка параллельна оси X и перпендикулярна оси Y», третьего не дано.
При ответе на вопрос «имеет ли место ситуация № 1 ?» для палки на плоскости есть среди прочих следующие правильные рассуждения: 1) если палка перпендикулярна оси Y, то ответ «да» исключается, 2) если палка перпендикулярна оси X, то ответ «нет» исключается. Ситуация «ни да, ни нет» с точки зрения доктора местных наук невозможна. Для него изложенный парадокс представляется парадоксом первого рода с неустранимым в двоичной логике противоречием.
А для нас? Для нас это парадокс второго рода. В задаче не сказано, какими глазами нужно смотреть на мир. Если мы смотрим на мир глазами доктора местных наук, считающего, что палка обязана лежать на привычной ему плоскости, то он, конечно, прав. Если мы выходим в третье измерение, то понимаем, что он неправ: палка может быть перпендикулярна плоскости.
Мы можем подсказать доктору местных наук. При ответе на вопрос «имеет ли место ситуация № 1 ?» допусти в своей голове наряду с твоим аборигенным «да» и твоим аборигенным «нет» конструкцию «ни аборигенное да, ни аборигенное нет». Это не будет бредом. Это будет адекватно реальности, которую ты пока не видишь.
Предположим, он послушает нас. Что будет тогда отрицанием аборигенного «нет» при ответе на вопрос, имеет ли место ситуация № 1 ? Новое «да», состоящее из аборигенного «да» и «ни аборигенного да, ни аборигенного нет». При новом понимании «да» конструкция «ни да, ни нет» исчезает.
Рассмотрим четвёртый пример – старинную шутку.
Парадокс любителя яблок
В саду растут обычные яблоня и груша. Подходит любитель яблок и срывает одно яблоко. Слопав яблоко, он задумывается. Верно ли, что число яблок на груше изменилось?
Перед нами парадокс первого рода с неустранимым в двоичной логике противоречием. Каждый из ответов «да», «нет» исключается потому, что на обычной груше не растут яблоки. В троичной логике можно дать ответ «ни да, ни нет». Но что тогда будет отрицанием «да» в этой троичной логике? Новое «нет», состоящее из пары значений: старое «нет» и «ни да, ни старое нет». Конструкция «ни да, ни нет» при новом понимании «нет» исчезает.
Так почему же исчезают исследуемые нами логические миражи? Во втором примере – при исправлении рассуждений. В остальных примерах – при уточнении понимания «да» и «нет» в соответствии с традицией опираться на двоичную логику. Согласно этой традиции «нет» должно быть строгим «нет», а «да» должно быть строгим «да», то есть одно множество логических значений, противопоставляемое другому, должно включать в себя все значения, отсутствующие в другом, и только их. Причём значения, входящие в строгое «да», должны идти в алфавите логики после всех значений, входящих в строгое «нет». В строгом смысле конструкции «и да, и нет», «ни да, ни нет» даже в недвоичной логике нереализуемы.
Реализовать их можно только в нестрогом смысле, когда «приблизительному да» (правому множеству) противопоставляется «приблизительное нет» (левое множество). При этом естественны следующие ограничения: 1) исключается «винегрет», то есть каждое значение, находящееся в алфавите между двумя значениями, входящими в данное множество, должно принадлежать этому множеству, 2) исключается поглощение одного множества другим (в том числе их совпадение), 3) оба множества должны быть непустыми.
Правое и левое множества могут иметь непустое пересечение. Оно и есть «и приблизительное да, и приблизительное нет». А если объединение этих множеств не совпадает с множеством всех логических значений, то не охваченные значения как раз и составляют «ни приблизительное да, ни приблизительное нет».
«Ни приблизительное да, ни приблизительное нет» может оказаться разделённым максимум на три части:
часть А (не важное) - логические значения, которые в алфавите располагаются перед всеми значениями, входящими в «приблизительное нет»,
часть Б (полуважное) - логические значения, которые в алфавите располагаются после всех значений, входящих в «приблизительное нет», перед всеми значениями, входящими в «приблизительное да»,
часть В (важное) - логические значения, которые в алфавите располагаются после всех значений, входящих в «приблизительное да».
Для сокращения записи введём заменители «~нет~», «~да~» словосочетаний «приблизительное нет», «приблизительное да».
Если правое и левое множества имеют непустое пересечение, то часть Б отсутствует, но присутствует «и ~да~, и ~нет~». Каждая из частей А и В может как присутствовать, так и отсутствовать.
Если между множествами нет непустого пересечения и вместе с тем нет зазора, то часть Б вместе с «и ~да~, и ~нет~» отсутствуют. Каждая из частей А и В может отсутствовать, но не обе сразу (иначе возвращаемся к строгому «нет» и строгому «да»).
Если между множествами есть зазор, то часть Б присутствует, но отсутствует «и ~да~, и ~нет~». Каждая из частей А и В может как присутствовать, так и отсутствовать.
Как отличать неважное от полуважного, полуважное от важного, неважное от важного? Эти вопросы пока остаются открытыми. В парадоксе аборигенов мы видим «важное ни ~да~, ни ~нет~». В парадоксе любителя яблок – «не важное ни ~да~, ни ~нет~».
Мы всё-таки догнали их, эти удивительные миражи «и да, и нет», «ни да, ни нет». Вблизи они такие же расплывчатые, как издалека.
