Все, конечно, знают первое правило бойцовского клуба - даже если не читали Паланика и не смотрели экранизацию Финчера. Но многие ли догадываются, что подобные же правила иногда есть и в математике? Например, первое правило смешанных чисел - не использовать смешанные числа нигде, кроме условия и ответа. Или же первое правило тангенсов - ну, вы поняли...
Да, иногда эти правила нарушают (как и правила бойцовского клуба - иначе он бы не увеличивал численность), иногда это даже полезно - но чаще всего этими правилами следует руководствоваться для облегчения решения задач.
Смешанные числа
Школа требует, чтобы в ответе не было неправильных дробей, обязательно надо выделять целую часть. Это, более или менее, оправданно - до поры, пока дети не научатся считать. Классу к 8 уже нет смысла, ибо одни уже считают легко и быстро (и их бесит этот тупой формализм), а другие 5 на 2 не могут разделить без калькулятора (и от них нет смысла требовать этот перевод, они уже безнадёжно потеряны для общества).
Но в ответе - это ещё ладно. Зачем учить (давая чёртов алгоритм) сложению и умножению смешанных чисел? Или при вычислении значения выражения ("решении примеров") результат каждого действия переводить в смешанное число (а в следующем действии - обратно в неправильную дробь) - чтобы что? И ведь за отступление от предписанного поведения - кара, оценка снизится.
Введите в школе моё "первое правило смешанных чисел" - не использовать смешанных чисел нигде, кроме условия и ответа. Разумеется, за его нарушение карать не следует (2-3% детей может быть удобнее складывать целую часть с целой, а дробную с дробной - и дай им Бог здоровья, если они получат таким образом правильный ответ), но поощрять тех, кто в этой парадигме освоится - обязательно. И лично я бы после 8 класса переставал требовать и в ответе целую часть выделять.
Другое дело, что в старших классах и неправильная дробь, и смешанное число вытесняются в пользу десятичных дробей - ведь в бланках ОГЭ, ЕГЭ и иного УГ все ответы пишутся по клеточкам и обязательно представляются десятичной дробью, насаждая ребятам условный рефлекс благоговейного ужаса перед 3, 6, 7, 9, 11 и прочими знаменателями, которые не превратятся в хорошую (то есть конечную) десятичную дробь. Но это уже - совсем другая история.
Тангенсы
Конечно, в изучении тригонометрии в школе масса проблем - этого не отнять. Но мы здесь о немного идеализированной ситуации, то есть о том небольшом проценте школьников, которые чему-то в школе научились. В частности, знает определения синуса, косинуса, тангенса (и котангенса) и что-то слышал про формулы приведения и прочие тригонометрические формулы.
Первое правило тангенсов - не использовать тангенсы нигде, кроме условия и, возможно, ответа. Разумеется, бывают задачи, в которых осмысленно оставить тангенсы (иногда даже и котангенсы), но их мало - чаще всего тангенсы пришли в условие для красоты (или для пущего страха), поэтому мы избавляемся от них в самую первую очередь. А там, глядишь, сразу и станет ясно, что дальше.
Хотя иногда можно и оставить эти самые тангенсы. Бывают такие задачи, где через тангенс всё решается лучше и быстрее, чем через синус и косинус:
Типичная задача про тангенс с "наворотами в зоопарке". В таком случае, конечно, не нужно избавляться от тангенса. И если получается уравнение с синусом в одной части и косинусом в другой - тоже. Но это - исключения, а они ведь только подтверждают правило.
Вот такие вот любопытные правила математического клуба.