1_В пирамиде SАВС в основании лежит правильный треугольник АВС со стороной 2√3 , SA=SC=√33, SB=7. Точка О – основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S. а) Докажите, что точка О лежит вне треугольника АВС. б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/cASoEmx9WwWswg
Видео https://rutube.ru/video/69c01772e8aff576755c37f604ade55f/?r=wd
2_В правильном тетраэдре SАВС на ребре АС взята точка F так, что AF : FC = 2 : 1. а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, F и высоту грани ВSC, проведённую к ребру SC. б) Найдите расстояние от точки F до плоскости ВSC, если ребро тетраэдра равно 12.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/eZpi6qa6blYfMA
Видео https://rutube.ru/video/cfe8e5806d60b198afca968610df132d/?r=wd
3_В прямой пятиугольной призме ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ высота АА₁ равна 3√5, ВС=СD=6, а четырёхугольник АВDE – прямоугольник со сторонами АВ=5, АЕ=4√5. а) Докажите, что плоскости СА₁Е₁ и АЕD₁ перпендикулярны. б) Найдите объём многогранника САЕD₁B₁.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/7vJroxO6N1sOug
Видео https://rutube.ru/video/a29d167798670979701014c85ee1b19b/?r=wd
4_В прямой пятиугольной призме ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ высота равна 2√3, треугольник BCD – правильный, со стороной 6, а четырёхугольник АВDE – равнобедренная трапеция со сторонами АВ=DE=2, BD=6 и АЕ=4. а) Докажите, что плоскости СА₁Е₁ и АЕD₁ перпендикулярны. б) Найдите объём многогранника САЕD₁B₁.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/i46ov6hXHUL91w
Видео https://rutube.ru/video/02bdc4a32b11245a26e934a207723329/?r=wd
🔎Презентация. 2 способ https://disk.yandex.ru/i/bGRL8fTRYVljWw
Видео https://rutube.ru/video/f9c59c4db2fa2c9f95a41495f22eb983/?r=wd
5_В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 16, высота SH равна 10. Точка К – середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку К и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно. а) Докажите, что площадь четырёхугольника ВСPQ составляет 3/4 площади треугольника SBC. б) Найдите объём пирамиды КВСPQ.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/7nT4Df6hMl2vuQ
Видео https://rutube.ru/video/1553bb4b2fe030a1a0d078aaed59c4cc/?r=wd
6_В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АD равна 10, высота SH равна 12. Точка К – середина бокового ребра SD. Плоскость АKB пересекает боковое ребро SC в точке P. а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет 3/4 площади треугольника SCD. б) Найдите объём пирамиды ACDKP.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/FaYBoJCbXjLXeg
Видео https://rutube.ru/video/d6005ca795c58d6a5d8c18a7c5dcba42/?r=wd
7_В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М – середина ребра АВ. Плоскость α перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и D. Прямая SС пересекает плоскость α в точке К. а) Докажите, что КМ=КD. б) Найдите объём пирамиды СDКМ.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/ZAEf-U70gKwiFA
Видео https://rutube.ru/video/789969c8a5f227bc5b1352d84d0005e1/
8_В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно √21. На рёбрах АВ и SB отмечены точки М и К соответственно, причём АМ=4, SK : KB = 1 : 3. а). Докажите, что плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС. б). Найдите объём пирамиды ВСKM.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/IgFuFmh1p07Teg
Видео https://rutube.ru/video/07fcd01a246c07f2284a68b33065e375/
9_В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания AB равна 4, а боковое ребро AA₁ равно 5√3. На ребре DD₁ отмечена точка M так, что DM:MD₁=3:2. Плоскость α параллельна прямой A₁F₁ и проходит через точки M и E. а) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плоскостью α – равнобедренная трапеция. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием – сечение призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плоскостью α.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/yrN6HOiqFGn6Tg
Видео https://rutube.ru/video/3ad9f92f526958e0860e339fc1274ed6/
10_В правильной восьмиугольной призме ABCDEFGHA₁B₁C₁D₁E₁F₁G₁H₁
сторона основания АВ равна 3√2, а боковое ребро АА₁ равно 6. На ребре СС₁ отмечена точка М так, что СМ : МС₁ = 1 : 2. Плоскость α параллельна прямой H₁E₁ и проходит через точки М и А. а) Докажите, что сечение призмы ABCDEFGHA₁B₁C₁D₁E₁F₁G₁H₁ плоскостью α – равнобедренная трапеция. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F₁, а основанием – сечение призмы ABCDEFGHA₁B₁C₁D₁E₁F₁G₁H₁ плоскостью α.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/rbuOXCKmnG6iFA
Видео https://rutube.ru/video/7b1b3d70b825bd69d78d9447b6fddad2/
11_Теорема Менелая. Отношение объёмов тетраэдров с общим трехгранным углом
На боковых ребрах EA, EB, EC правильной четырехугольной пирамиды EABCD расположены точки M, N и K соответственно, причем EM:EA=1:2, EN:EB=2:3, EK:EC=1:3. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, K. б) В каком отношении плоскость (MNK) делит объем пирамиды?
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/V2kd59U0cCb2JQ
Видео https://rutube.ru/video/f8d7e7593ff874ba471c7273da4d377b/?r=wd
12_Перпендикулярность плоскостей. Объем пирамиды. Объем куба
Куб целиком находится в правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S так, что одна грань куба принадлежит основанию, одно ребро целиком принадлежит грани SBC, а грани SAB и SAC содержат по одной вершине куба. Известно, что ребро АВ в 2 раза больше высоты пирамиды. А) Докажите, что плоскость, проходящая через вершины куба, принадлежащие граням SAB и SAC, и вершину пирамиды, перпендикулярна плоскости ASD, где D – середина стороны ВС. Б) Найдите отношение объемов пирамиды и куба.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/x80MsY1DhsLdUw
Видео https://rutube.ru/video/32b95e9cb212eec6249ed1823154b22c/?r=wd
13_Отношение объёмов подобных тел. Расстояние от точки до плоскости
В параллелепипеде АВСDA₁В₁C₁D₁ точка К – середина ребра АВ. а) Докажите, что плоскость СКD₁ делит объем параллелепипеда в отношении 7:17. Б). Найдите расстояние от точки D до плоскости СКD₁, если известно, что ребра АВ, АD и АА₁ попарно перпендикулярны и равны соответственно 6, 4 и 6.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/FuPp__0wF4r05A
Видео https://rutube.ru/video/02d3609fe0d629d23769fe81917437d9/?r=wd
14_Метод координат. Свойства объемов
В прямоугольном параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ АВ=ВС=4, СС₁=8. Точка К – середина ребра АВ, точка М – середина ребра ВС. Точка Р лежит на ребре DD₁ так, что DP:PD₁=3:5. А) Докажите, что плоскость КМР перпендикулярна прямой DВ₁. Б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью КМР, а вершиной точка D.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/80UovHmwNhigiw
Видео https://rutube.ru/video/6a35f8051d19ebc05abd41fe78c67c5b/?r=wd
15_Перпендикулярность прямой и плоскости. Разность объёмов пирамид
Основанием пирамиды FABCD является квадрат ABCD. На ребре AF взята точка Е такая, что отрезок СЕ перпендикулярен ребру AF. Проекция О точки Е на основание пирамиды лежит на отрезке АС и делит его в отношении AO:OC=4:1. Угол ADF равен 90⁰. А) Докажите, что ребро FC перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Б) Найдите разность объемов пирамид FABCD и EABD, если известно, что АВ=1.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/zDN9xE1CjoMt4g
Видео https://rutube.ru/video/c116440abc46a856a6b0d4fbb32561e2/?r=wd
16_Отношение объёмов. Сфера, описанная около пирамиды
В пирамиде SBCD каждое ребро равно 3. На ребре SB взята точка А так, что SA:AB=1:2. А) В каком отношении плоскость ACD делит объем пирамиды? Б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SАCD.
(Слайд 3. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SBCD)
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/IH_yiqJqC0RefA
Видео https://rutube.ru/video/5a9f5c672019e3f098142b44e9433ed0/?r=wd
17_Трудное сечение. Метод объёмов
В кубе АВСDA₁В₁C₁D₁, ребро которого равно 4, точка М является серединой отрезка ВС₁. а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую АМ, параллельно прямой А₁В. б) Найдите расстояние между прямыми А₁В и АМ.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/iUmRVoMu2umQvg
Видео https://rutube.ru/video/b71deeb5c8bfa2314ff3ac4b2dfaae22/?r=wd
18_Расстояние от точки до плоскости. Метод объёмов.
В прямоугольном параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ известно, что рёбра DC=15, AD=8, AA₁=6. а). Докажите, что расстояние от точек В и D до плоскости АСD₁ одинаковы. б). Найдите это расстояние.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/gUXMwjMB4avuJA
Видео https://rutube.ru/video/25f8575aed184e3ed87d2e0ee9b01c4c/?r=wd
© Презентации PowerPoint 2003. Е. М. Савченко, 2025