Полный перечень всех статей, опубликованных на канале: «Перечень статей на канале».
Публиковать статью о русских счётах — неблагодарное занятие. В интернете есть много качественного материала по этому вопросу. Например, «Русские счёты и их использование в школе» М. И. Иванова или «Хозяйственные вычисления» Ф. Д. Лившица.
Видео, как складывать и вычитать с помощью счётов, размещено на моем канале. Однако анализ статистики показывает, что часть моих подписчиков вовсе не смотрит видео или делает это очень фрагментарно, просматривая только отдельные эпизоды. Возможно, это связано с тем, что в видео я вынужденно навязываю свою скорость изложения материала, которая для кого-то слишком медленная, а кому-то кажется чересчур быстрой. Поэтому я публикую материал о том, как использовать русские счёты. Это не пересказ видео, это переработанная версия.
Приведенный рисунок дает исчерпывающую информацию о конструкции русских счётов. Добавлю только, что количество проволок (металлических стержней) с нанизанными на них костяшками может быть различным. В этой статье я использую счёты с одиннадцатью стержнями, один из которых имеет всего четыре косточки. Для удобства часть косточек отличается по цвету от остальных. Счёты установлены в ноль или сброшены, когда все костяшки прижаты вправо.
Обычно мы используем десятичную систему записи числа. Числа бывают однозначные (для записи используется одна цифра) и многозначные. Любое многозначное число раскладывается на сумму чисел, каждое из которых — это произведение однозначного числа от единицы до девяти и числа десять в соответствующей степени. Или, говоря совсем просто, мы раскладываем число на единицы, десятки, сотни, тысячи и так далее. А дробную часть числа представляем суммой произведений однозначного числа и десятичных дробей 1/10, 1/100, 1/1000 и так далее.
Когда мы записываем любое число или вводим его на клавиатуре, мы делаем это слева направо, на счётах это делается сверху вниз. Приступая к записи или набору числа, мы можем не знать, какое количество знаков оно содержит. Например, если кто-то диктует число для нас, называя по одной цифре. На счётах не так. Мы должны сразу понимать, к какому разряду относится первая цифра числа. Потому что каждая проволока отвечает за свой разряд.
Стержень, расположенный над четырьмя костяшками, это разряд единиц, над ним десятки, потом сотни, тысячи и так далее. Чтобы было легче ориентироваться, у разрядов тысяч и миллионов первая косточка выделена цветом. Чтобы набрать число на счётах, часто говорят «отложить», необходимо передвинуть определенное число костяшек в соответствующем разряде влево. Проволока с четырьмя косточками служит разделителем целой и дробной частей числа.
Определившись со стартовой проволокой, мы откладываем число сверху вниз. Фактически мы «разворачиваем» число вертикально. Для облегчения набора пятая и шестая косточки на каждой проволоке, кроме разделительной, выделены цветом.
На рисунке на счётах отложено число один миллион двести тридцать четыре тысячи пятьсот шестьдесят семь целых восемьсот девять тысячных. На каждой проволоке одна косточка, прижатая влево, означает цифру один, две костяшки — два и так далее. Когда все косточки прижаты только вправо, то есть на проволоке ничего не отложено, это цифра ноль.
Понятно, что используемая конструкция счётов не позволяет оперировать числами больше чем 9'999'999,999. Обратили внимание? При откладывании числа на счётах десятая костяшка не используется. Позже я объясню, зачем она нужна.
Движение костяшек вправо, когда они прижимаются к правой границе рамки, называется «сбросить» или «скинуть». Помните выражение «сбросить со счетов», изначально было «сбросить со счётов».
Есть несколько приёмов, существенно увеличивающих скорость работы со счётами:
- Косточки на каждой проволоке откладываются и сбрасываются не по одной, а сразу необходимой группой.
- На проволоке, которая соответствует цифре ноль, никакого движения делать не надо.
- При работе счёты должны лежать напротив правой руки немного наискосок, повёрнутые влево.
- При откладывании чисел группа косточек перемещается средним пальцем правой руки, а сбрасывание осуществляется большим пальцем этой же руки.
- Если число содержит несколько одинаковых цифр подряд, их откладывают ребром ладони. Например, 444 кладут за одно движение.
- Чтобы сбросить все косточки на всех проволоках, а такую операцию необходимо производить перед началом каждого следующего вычисления, рамку счётов приподнимают за левую сторону левой рукой, тогда все костяшки сами сдвигаются вправо.
Теперь попробуем сложить 3'576 и 51'423. Сначала откладываем первое число. Потом к нему прибавляем второе число. Для русских счётов операцию сложения можно понимать буквально. К костяшкам, находящимся слева, отложенному числу, мы добавляем необходимое количество косточек. Двигаемся сверху вниз, от высших разрядов к низшим. В результате на счётах отложено число 54'999. Это и есть искомая сумма.
Из этого простого примера уже можно сделать вывод. Сложение любых чисел на счётах разбивается на несколько операций сложения двух однозначных чисел. Нам надо научиться складывать на счётах однозначные числа, и после этого мы легко, чисто механически, не задумываясь, сможем складывать на счётах любые числа из допустимого для их конструкции диапазона.
Конечно, мы можем просто запомнить все пары сложения однозначных чисел. С учетом перестановки слагаемых таких пар сорок одна. Это хорошо для развития памяти, но это не поможет увеличить скорость вычислений на русских счётах. А вот понятие «дополнение» будет очень полезно.
Число, которое дополняет однозначное число до десяти, называется его арифметическим дополнением. Для однозначных чисел существует девять пар, состоящих из числа и его дополнения. Но, как вы видите, четыре пары повторяются, поэтому держать в голове надо только пять пар. Теперь мы готовы поработать со сложением однозначных чисел на проволоке счётов.
Один плюс семь — это восемь. Сначала мы отложили одну костяшку, а потом добавили к ней еще семь.
Теперь отложим единицу и прибавим девять. Это как раз то количество косточек, которое осталось справа после того, как мы положили единицу. Когда все десять костяшек при сложении окажутся слева, мы по правилам русских счётов должны сбросить все десять косточек, то есть обнулить проволоку, а на верхней проволоке отложить единицу, то есть передвинуть одну косточку влево. Это универсальное правило, оно действует для любой проволоки.
Смысл этого действия, надеюсь, понятен. Десять — двузначное число, а проволоки в счётах предназначены для отражения только однозначных чисел. Десять — это один десяток. Количество десятков — один, а количество единиц — ноль. Поэтому десять костяшек в разряде единиц мы сбрасываем, а на верхней проволоке в разряде десятков откладываем единицу.
Аналогично, например, для сотен. К трем сотням прибавить семь сотен, получаем десять сотен или тысячу. Видите, вот и пригодилась десятая костяшка.
Двигаемся дальше. Отложим число четыре и снова прибавим девять. У нас нет такого количества костяшек справа. И здесь мы применяем еще одно правило русских счётов. На проволоке выше мы добавляем одну косточку, а на проволоке, на которой мы хотели прибавить девять, сбрасываем дополнение к девяти, то есть единицу. В результате получаем тринадцать.
Смысл этого действия тоже, надеюсь, понятен. Мы мысленно заменили число девять на разность между числом десять и числом единица, которое является дополнением к числу девять. Тогда логично прибавить десять и вычесть один. А вычитание на счётах — это как раз сбрасывание костяшек, ведь мы помним, что вычитание — операция, обратная сложению.
Это тоже универсальное правило, оно действует для любой проволоки. Если у вас не хватает косточек, чтобы переместить их влево, вы на проволоке выше добавляете одну костяшку, а на текущей проволоке сбрасываете количество косточек, равное дополнению числа, которое не получилось отложить.
Например. Семьсот плюс восемьсот. Отложили семь сотен. Прибавить восемь косточек не можем, у нас всего три справа. Тогда откладываем единицу на проволоке тысяч и сбрасываем две костяшки на проволоке сотен. Ведь дополнение к восьми — это два. Результат — одна тысяча пятьсот.
Попробуем сложить 45'387,736 и 329'763,295. Отложим первое число. Начинаем прибавлять. В сотнях тысяч откладываем три. Там ничего не было. В десятках тысяч прибавляем два. В результате отложены шесть костяшек.
На проволоке тысяч к пяти прибавляем девять. Костяшек справа не хватает, поэтому мы откладываем одну косточку на проволоке десятков тысяч, а на проволоке тысяч сбрасываем дополнение к девяти, то есть единицу.
Переходим к сотням. К трем добавляем семь, получаем десять косточек. Сбрасываем их, а на проволоке тысяч добавляем единицу.
На проволоке десятков не хватает косточек справа. Добавляем единицу к сотням и сбрасываем четыре косточки, потому что это дополнение к числу шесть. (Промежуточный результат здесь и далее в этом примере я уже не показываю.) Добрались до единиц. К семи прибавить три, получаем десять косточек. Добавляем к десяткам единицу и сбрасываем десять костяшек.
Переходим к десятым долям числа. К семи добавляем два. Конечно, девять. Опускаемся на проволоку ниже. К трем костяшкам добавить девять мы не можем. Поэтому на верхней проволоке добавляем единицу и сбрасываем единицу на текущей проволоке, потому что она дополнение к девяти. Опа. На проволоке десятых долей отложены десять косточек. (Снова пришлось показать промежуточный результат.) Ничего страшного.
Добавляем на стержне единиц одну косточку, а десять костяшек сбрасываем. Здесь главное не забыть, что последняя операция, которую мы делали, была на проволоке сотых долей числа. Переходим к самой нижней проволоке. На ней справа четыре костяшки, а надо отложить пять. Набрасываем одну косточку на проволоке выше, а здесь сбрасываем пять костяшек, потому что пять — дополнение к пяти.
Результат готов. Мы получили 375'151,031. Можете проверить на калькуляторе или сложить числа столбиком.
Еще раз повторю:
- Если при сложении косточек в каком-либо разряде мы получаем на проволоке десять костяшек слева, необходимо сбросить все десять косточек, а на проволоке выше добавить единицу.
- Если костяшек справа не хватает, чтобы прибавить какое-то число, на проволоке выше добавляется единица, а на проволоке, где происходит операция, сбрасываются косточки в количестве, равном дополнению к числу, которое не смогли прибавить.
Операция вычитания — это действие, обратное сложению, поэтому мы будем сбрасывать косточки, то есть сдвигать их вправо. И еще одно важное отличие от операции сложения: русские счёты не предназначены для работы с отрицательными числами, поэтому уменьшаемое всегда должно быть больше вычитаемого. Вычитание, как и сложение, производим сверху вниз. Начинаем с высших разрядов, заканчиваем низшими.
У операции вычитания также возможны три разных ситуации в каком-либо разряде числа.
Первый случай самый простой. Отложенных слева косточек больше или их количество равно сбрасываемым костяшкам. Семьдесят минус шестьдесят. Результат — десять.
Второй случай. Из тринадцати тысяч надо вычесть восемь тысяч. На проволоке тысяч только три косточки, а сбросить вправо надо восемь. В этом случае, по правилам русских счётов, необходимо сбросить единицу в более высоком разряде, то есть на проволоке выше, а на проволоке, где производится операция, добавить к костяшкам слева дополнение того числа, которое мы не смогли вычесть. Дополнение восьми — два. Мы докладываем две костяшки. Ответ: пять тысяч.
Заметили, мы сделали действия, противоположные похожим действиям при сложении. Только всё наоборот, потому что вычитание — это операция, обратная сложению.
И, наконец, третий случай. В разряде числа стоит ноль, на проволоке, соответственно, нет костяшек слева. Например, сто вычесть шестьдесят. По правилам счётов необходимо сбросить единицу в верхнем разряде, отложить десять костяшек в текущем разряде и вычесть необходимое число, в нашем случае сбросить шесть косточек. Результат — сорок.
Попробуем из числа 753'124,68 вычесть 656'317,025. Отложим первое число. Приступим к вычитанию. От семи костяшек сбросить шесть, остается одна. На следующей проволоке сбрасываем все пять косточек. На проволоке ничего не остается.
В разряде тысяч у нас три косточки, а сбросить надо шесть. Вспоминаем, надо на предыдущей проволоке сбросить одну косточку, а потом добавить к трем дополнение числа шесть, то есть четыре. Дополнение мы добавить можем, но вот беда, на верхней проволоке ничего нет, нечего сбрасывать. Как быть? Ничего страшного не произошло. Вспоминаем, если костяшек слева нет, идем выше, сбрасываем единицу, а на пустой проволоке откладываем десять косточек. Теперь мы можем на проволоке десятков тысяч сбросить единицу, а на проволоке тысяч добавить четыре.
Разряд сотен. Не хватает косточек. Из верхнего разряда скинем единицу, а в текущем прибавим дополнение к трем, то есть семь косточек. (Промежуточные положения здесь и далее не показываю.) Следующий шаг. Из двух вычтем единицу.
На следующем разряде сбросим единицу с верхней проволоки, а к четырем прибавим три, ведь три — дополнение к семи. От шести ничего не отнимаем.
У восьми костяшек сбрасываем две. И для последнего действия минус одна косточка на проволоке выше и прибавление пяти в текущем разряде. Результат: 96'807,655. Можете проверить на калькуляторе.
Рассмотрим еще один специфический пример. От числа 300'024 отнимем 36. Отложим уменьшаемое. В разряде десятков две косточки, а сбросить надо три. На проволоке выше ничего нет, еще выше тоже, только в разряде сотен тысяч у нас есть костяшки слева. Скидываем одну косточку в первом ненулевом разряде. Откладываем десять косточек в разряде ниже. А затем скидываем одну косточку и снова добавляем десять в нижнем разряде. Повторяем еще раз. Снова скидываем одну косточку, а в разряде десятков прибавляем семь косточек как дополнение к числу три. На проволоке единиц снова не хватает косточек слева. Имеем четыре, а вычитаем шесть. Поэтому на верхней проволоке убираем единицу, а к четырем добавляем еще четыре. Результат: 299'988.
Повторю еще раз:
- Если на какой-либо проволоке нет костяшек слева, а нам требуется провести вычитание в этом разряде числа, мы сбрасываем одну косточку в верхнем разряде, на текущей проволоке добавляем десять костяшек влево и сбрасываем вычитаемое количество косточек.
- Если костяшек слева не хватает для проведения операции вычитания, на проволоке выше мы сбрасываем одну косточку, а в текущем разряде добавляем количество косточек, соответствующее дополнению к числу, которое мы вычитаем в этом разряде.
Заметили, дополнение на русских счётах работает в обратную сторону. При сложении мы отнимаем костяшки, а при вычитании прибавляем.
Со сложением и вычитанием разобрались. Умножение и деление на русских счётах — задача непростая. Сейчас мы это обсуждать не будем.
Остался не закрытым один вопрос. Зачем в наше время учиться считать на русских счётах?
Во-первых, в некоторых случаях от этого есть практическая польза. Например, при пересчете большого количества хаотично сгруппированных однородных предметов или при определении общего тоннажа множества грузов различной массы.
Во-вторых, в отличие от калькулятора, где процесс сложения или вычитания скрыт от наших глаз, на счётах мы воочию наблюдаем взаимодействие разрядов чисел между собой. Происходит непосредственное погружение в десятичную систему счисления. Хорошее владение счётами позволяет легче понять восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Двоичную тоже. Если вы устроите с ребенком соревнование, кто быстрее считает на счётах, это точно будет лучше огромного количества компьютерных игр.
А еще в детстве мы катались на счетах. Этого, конечно, делать нельзя. Удачи вам. Дерзайте.
