Исследователи поясняют: ключевую роль в решении старинной задачи сыграли спиноры — математические объекты, широко применяемые в квантовой механике.
В мире геометрии произошло знаменательное событие. Математики из Университета Монаша (Австралия) решили задачу, которой уже несколько веков, и существенно расширили область применения теоремы Декарта о кругах, сформулированной ещё в XVII веке.
С помощью современных математических методов, вдохновлённых физикой, команда вывела общее уравнение, описывающее произвольное количество касающихся окружностей. Это позволило по-новому взглянуть на соотношение, изначально предложенное великим математиком Рене Декартом для четырёх таких окружностей.
Теорема Декарта, один из краеугольных камней геометрии, определяет соотношение между четырьмя попарно касающимися окружностями. Она связывает их кривизны (величины, обратные радиусам). Однако на протяжении столетий обобщение этого элегантного уравнения для более чем четырёх окружностей оставалось неразрешимой задачей для математиков.
Доцент Школы математики Университета Монаша Дэниел Мэтьюс (Daniel Mathews) вместе с аспирантом Орионом Зимарисом (Orion Zymaris) вывели уравнение, описывающее так называемые n-цветки (n-flowers) — сложные геометрические конфигурации из касающихся окружностей, напоминающие цветок.
Читайте: 122-летняя Математическая загадка доказана – Как разрезать Треугольник на Квадрат
В теории упаковок окружностей (области геометрии, изучающей оптимальное размещение кругов без их пересечения) такие «цветки» являются основными структурными элементами. Известно, зная кривизны внешних окружностей-«лепестков» в n-цветке, можно точно определить кривизну центральной окружности.
В основе исследования австралийских математиков лежат современные математические методы, использующие спиноры. Это особые математические объекты, которые обычно находят применение в таких областях физики, как квантовая механика (для описания спина элементарных частиц) и теория относительности.
От Декарта к спинорам
«Декарт предложил задачу принцессе Елизавете Пфальцской в 1643 году, полагая, что сам сможет её решить. В конце концов, он только изобрёл декартовы координаты. Когда же он упростил и переформулировал задачу до практически разрешимой, она стала известна как классическая теорема Декарта о кругах», — цитата Мэтьюса.
Стоит отметить, что уравнение для четырёх окружностей, теорема Декарта, было также независимо открыто и другими учёными. Впервые оно было предложено японским математиком Ямадзи Нусидзуми в 1751 году.
Позже его переоткрывали Якоб Штейнер в 1826 году, Уильям Бикрофт в 1842 году и Фредерик Содди в 1936 году. Последний даже изложил теорему в виде известного стихотворения-загадки The Kiss Precise.
«Другие учёные обобщали результат Декарта иными путями, но наше исследование — это первое расширение, которое даёт явное, точное уравнение, связывающее радиусы (или кривизны) произвольного числа, касающихся окружностей на плоскости».
Орион Зимарис, чьё аспирантское исследование и привело к этому прорыву, подчеркнул неожиданные связи полученного результата с другими областями математики и физики. «Наш подход использовал передовые геометрические инструменты, вдохновлённые физикой, что само по себе было удивительно».
Он пояснил, что именно спиноры сыграли ключевую роль. «Мы использовали вариант спинорной техники, разработанный нобелевским лауреатом сэром Роджером Пенроузом и Вольфгангом Риндлером, который они применяли в общей теории относительности.
Оказывается, те же самые математические структуры, которые описывают квантовый спин частиц и пространство-время в теории относительности, помогают нам понять и задачи окружностей».
Ответы на вопрос 380-летней давности
Эта работа не только знаменует собой значительный шаг вперёд в математике, но и демонстрирует растущий научный потенциал группы топологии (раздел математики, изучающий свойства фигур, сохраняющиеся при непрерывных деформациях) в Университете Монаша. В настоящее время в этой группе обучаются девять аспирантов, пятеро из которых — женщины.
«Это открытие — захватывающий пример того, как классические, старинные проблемы могут вдохновлять математиков на создание новых теорий и методов спустя столетия», — заключил Мэтьюс. «Невероятно подумать, что вопрос, над которым Рене Декарт ломал голову в 1600-х годах, ещё хранил в себе новые, не найденные до сих пор ответы».
Хочу первым узнавать о ТЕХНОЛОГИЯХ – ПОДПИСАТЬСЯ на Telegram
Читать свежие обзоры гаджетов на нашем сайте – TehnObzor.RU