Чтобы лучше прочувствовать тему статьи, попробуйте сперва решить две задачи:
1. Решите уравнение: cos²x+√3sin²x=(1+√3)(sinx-sinxcosx+cosx)
2. Положительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению a²+b²+c²=1. Найдите наибольшее возможное значение выражения ab+bc√3.
Я намеренно их ставлю в начале поста, чтобы вы сразу окунулись в контекст.
Это задания из ДВИ МГУ этого года. Уровень задач Перечневый, хотя они также будут полезны тем, кто готовится на Высокобалльном уровне.
Лучше прервитесь и подумайте над ними некоторое время. Иначе сложно будет разобрать все нюансы объяснений ниже.
Пока вы пробуете решить задачи, обратите внимание на то, как вы рассуждаете.
Наверняка, вы в каждом задании высматриваете какие-то типичные конструкции и подмечаете некоторые зависимости. Дальше пытаетесь раскрутить их так, чтобы выйти на правильную тропу.
Поиск таких маркеров и индикаторов зависит от вашего уровня как решателя. Чем больше у вас опыт, тем более разноплановые зацепки вы скорее всего протестируете.
Заметив что-то перспективное, вы дальше используете уже какой-то конкретный метод решения.
1. Уравнение cos²x+√3sin²x=(1+√3)(sinx-sinxcosx+cosx)
Перечислим всё, что можно увидеть интересного в этом уравнении.
а) Слева квадраты синуса и косинуса, которые можно переводить друг в друга. Если бы не было √3, было бы основное тригонометрическое тождество. Можно попробовать заменить квадрат синуса и косинуса и мы получим даже 1+√3 в одном из слагаемых слева. Но всё равно остаётся единственно слагаемое без этого множителя, которое всё портит.
Вряд ли стоит идти по этому пути. Привести к удобному уравнению только через тригонометрическое тождество – слишком примитивно для такого уровня задачи. Да и остаются неудобные первые степени синусов и косинусов справа...
Пока это кажется тупиковой идеей. Её можно будет попробовать как-то разработать, когда мы совсем отчаемся найти решение. Но перспективы не прослеживаются.
б1) В правой части есть выражение sinx+cosx. Тем более там же sinx⋅cosx. Есть стандартная замена sinx+cosx = t, а sinxcosx=(t²-1)/2. Это уже интереснее. Но слева все портит √3. Нет симметрии.
б2) Вообще идея поиска симметрии используется не только для тригонометрических конструкций. Если она есть, почти всегда нужно брать её в разработку. Вспомним симметрические системы и стандартную в них замену. Для тригонометрии же симметрия по синусу и косинусу прямо рабочая.
Но, повторюсь, у нас тут не до конца всё симметрично. Поэтому откладываем в сторону эту идею.
в) Есть √3 в тригонометрической задаче. Самый сильный маркер – это когда есть конструкция sinx+√3cosx или cosx+√3sinx. Это указание на то, что надо разделить выражение на 2 и свести к синусу суммы. √3/2 и 1/2 являются синусом или косинусом «красивых углов».
По сути такие конструкции – это популярные случаи для метода вспомогательного аргумента.
В нашей задаче есть намёки на его применение. Выражение cos²x+√3sin²x очень схоже.
Но квадраты всё портят.
Ещё есть конструкция 1+ √3. Вроде тоже напрашивается разделить на 2 и использовать ту же механику с 1/2+ √3/2 = cos60° + sin60°. Красиво, но не понятно.
г) Заметить, что в уравнении много √3. И этот корень встречается и слева и справа. После раскрытия скобок справа все коэффициенты будут либо ±√3, либо ±1.
Так как перед нами громоздкое выражение, то возможно оно как-то красиво разлагается на множители.
Вообще, если мы видим такое большое уравнение, то стоит либо попробовать разложить на множители, либо использовать функциональный поход (оценка, монотонность и пр.). Особенно, когда в уравнении используются функции разных типов.
Да, в нашем случае немного стрёмно раскрывать справа. Ведь там будет шесть слагаемых. Ещё два справа. То есть всего восемь слагаемых. Причём нет никаких подобных.
Добрый знак, что их чётное количество. Значит, если составители действительно задумали разложение, то его проще будет найти через группировку.
Думаю, нужно идти именно поэтому пути. В остальных путях содержательные трудности, а у нас пока трудности чисто вычислительные.
cos²x+√3sin²x=(1+√3)(sinx-sinxcosx+cosx)
cos²x+√3sin²x=sinx-sinxcosx+cosx+√3sinx-√3sinxcosx+√3cosx
Перенесём всё вправо как есть, то есть в конец.
cos²x+√3sin²x-sinx+sinxcosx-cosx-√3sinx+√3sinxcosx-√3cosx=0
Теперь раскладываем на множители. При группировке всегда стараемся опираться на коэффициенты. Очевидно, что есть две большие группы: cos²x-sinx+sinxcosx-cosx и √3sin²x-√3sinx+√3sinxcosx-√3cosx.
Аккуратно переставим слагаемые, чтобы нагляднее показать, как мы группируем.
cos²x+sinxcosx-cosx-sinx+√3sin²x+√3sinxcosx-√3cosx-√3sinx = 0
cosx(cosx+sinx)-(cosx+sinx)+√3sinx(sinx+cosx)-√3(cosx+sinx) = 0
(sinx+cosx)(cosx-1+√3sinx-√3)=0
Бинго! Уравнение распалось на множители!
Обратите внимание, что первая скобка – это конструкция sinx+cos, а во второй есть cosx+√3sinx. Мы в начале рассуждений как раз их подмечали. Вот они и вылезли в самом конце.
Дальше уравнения решаются чисто технически. Например, через введение вспомогательного аргумента.
Текст всех рассуждений выглядит объёмным. Но по факту эту задачу можно со всеми описаниями объяснить ученику за 5 минут. Процесс понимания может занять больше времени, но преподаватель уже для этого не нужен.
Давайте теперь посмотрим на какое-нибудь видео с решением этой задачи.
Коллега Наталья Захарова сделала отличный разбор варианта ДВИ этого года. https://www.youtube.com/watch?v=oEabHTZs08k (наша задача – с 7:43)
Однако, обратите внимание, первый шаг её решения – это полураскрыть скобки справа (то есть на √3 не домножать).
А дальше коллега произносить важную фразу с таким смыслом: «Я несколько минут сидела и не могла понять, как действовать дальше...»
Вот это очень показательно. В это время шёл серьёзный мыслительный процесс. Что-то коллега пробовала, тестировала, пыталась найти какие-то индикаторы, заходила в тупики и выходила из них.
Но этот процесс остался за кадром.
Повторюсь: это хорошее видео с правильным решением. Я его пересылал нескольким ученикам для примера. Но вопрос у них был всё тот же: «А как можно было нам самим до этого догадаться?». По этому видео сложно научиться видеть первые шаги в решении подобной задачи.
Редкие разборы показывают как прийти к решению, как изобрести его.
Почему в задаче мы раскрыли скобки? На что надеялись? Очевидно, что там будет громоздкое выражение. И очевидно, что я буду тратить силы на вычисления и преобразования. Почему это имеет смысл, почему я уверен, что затраченные усилия пойдут впрок?
Перейдём ко второй задаче из начала статьи.
2. Положительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению a²+b²+c²=1. Найдите наибольшее возможное значение выражения ab+bc√3.
Попробуем теперь в условии задачи увидеть что-то примечательное.
а) Конструкция a²+b²+c²=1 для осей a, b, c в пространстве даёт сферу с радиусом 1. Можно вспомнить, как такая сфера задаётся параметрически через тригонометрию.
Принципы применения сферических координат я помню только в общих чертах, точных формул по памяти не знаю. Поэтому пока отложу в сторону. Вернусь к этой идее, если ничего другого не найду. Тогда и выведу все формулы при необходимости.
б) В ab+bc√3 есть общий множитель. Когда у цельного выражения есть общий множитель, обычно стоит попробовать его вынести. Получаем b(a+c√3). Пока ничего не ясно...
в) Снова видим два слагаемых, причём в одном из них есть √3. Пока никакой тригонометрии вокруг нет, но мы всегда можем её подключить – например, всё же перейдя к сферическим координатам.
г) Первое выражение симметрично. Мы можем смело переставлять в нём местами a, b, c. Но во втором никакой симметрии не прослеживается. Все три переменные принципиально не подменяются между собой, они не равнозначны.
д) Иногда, когда нужно максимизировать какое-то выражение, можно попробовать обозначить его отдельной буквой. После этого выразить какую-нибудь неизвестную и подставить в исходное уравнение. В надежде, что заметим какие-то ограничения.
Т.к. больше ничего не видно, а последняя идея технически несложна, попробуем её.
ab+bc√3 = k -> b(a+c√3) = k -> b = k/(a+c√3)
Подставим в первое уравнение: a²+k²/(a+c√3)+c²=1.
Дальше, кажется, тупик. Если бы не было √3, то можно было бы подключить симметрию со стандартной заменой для a+c и ac.
е) Часто в подобных задачах используется неравенство Коши. В принципе, можно и в этом направлении порыться. Но обычно там происходит какая-то хитрая замена или находят удачное разбиение. Так как я не так хорошо вижу подобные разбиения, то для меня такой поиск иногда похож на рулетку. Это направление решения будем разрабатывать, только когда всё остальное перепробуем.
Давайте вернёмся к пункту в) и применим к этой задаче стандартную технику. Это снова похоже на метод вспомогательного аргумента. Если мы видим √3 в такой конструкции, то разумно поделить на 2.
Точнее сначала вынесем двойку за скобку. Заодно прихватим с собой переменную b.
ab+bc√3 = 2b(a/2 + c√3/2)
Несмотря на то, что в скобке нет тригонометрии, попытаемся частично нормировать это выражение. Точнее нормируем вектор (a,c), разделив его на его длину.
Выносим за скобку √(a²+c²):
2b(a/2 + c√3/2) = 2b√(a²+c²)⋅(a/√(a²+c²)⋅1/2 + с/√(a²+c²)⋅√3/2)
В скобках теперь получается ввести вспомогательный угол.
Замена: a/√(a²+c²) = sinφ, с/√(a²+c²) = cosφ.
Теперь можно отметить, что 1/2=cos60° и √3/2=sin60°.
2b√(a²+c²)⋅(a/√(a²+c²)⋅1/2 + с/√(a²+c²)⋅√3/2) = 2b√(a²+c²)⋅(sinφcos60° + cosφsin60°) = 2b√(a²+c²)⋅sin(φ+60°)
И наконец, заметим, что согласно первоначальному условию a²+c² = 1-b²:
2b√(a²+c²)⋅sin(φ+60°) = 2b√(1-b²)⋅sin(φ+60°).
Вот здесь уже в начале видим стандартную конструкция для тригонометрической замены b√(1-b²).
Заменяем b = sinβ, тогда √(1-b²) = √(1-sin²β) = cosβ. И получаем синус двойного угла:
2b√(1-b²)⋅sin(φ+60°) = 2sinβcosβ⋅sin(φ+60°)=sin2β⋅sin(φ+60°).
Очевидно, что это выражение состоит из двух независимых множителей. При этом sin2β≤1 и sin(φ+60°)≤1.
То есть максимальное возможное значение выражения ab+bc√3 = sin2β⋅sin(φ+60°) равно 1.
В подобных задач всегда есть нюанс. Мы получили оценку сверху, но достигается ли эта верхняя грань? Поэтому для завершения решения мы должны показать, при каких a, b, с неравенство обращается в равенство.
sin2β=1 -> β=π/4 -> b=sinβ=√2/2
sin(φ+60°)=1 -> φ=π/6 -> a/√(a²+c²) = sinφ = 1/2, с/√(a²+c²) = cosφ = √3/2.
Откуда а=1/2√2 и с=√3/2√2.
Обратите внимание, что и ход размышлений, и окончательное решение сильно зависит от самого решателя. У всех разных опыт, разные любимые техники и приёмы, разные подходы к решению.
Рассуждения выше – это не какое-то эталонное каноническое рассуждение. Это лишь пример того, как можно думать над задачей.
Сравните как коллеги решают эту же задачу:
а) ЕГЭ по математике | Профиматика: https://www.youtube.com/watch?v=f8kmaJvS1sA (наша задача – с 29:02).
Автор сначала предложил метод касательных (и сразу объяснил, почему он не сработает). Но по мне это уже метод Олимпиадного уровня. В итоге в решении сразу перешли на скалярное произведение векторов и неравенство Коши. Там же разобрано второе решение через сферические координаты. Которое в итоге свелось к неравенству из нашего решения выше.
Забавно, что в какой-то момент в первом решении автора одёрнули: «Зачем 2b выносить-то?». При том, что в нашем решении выше мы всё-таки вынесли 2b и это был принципиальный идейный ход.
б) снова Наталья Захарова: https://www.youtube.com/watch?v=BiZ_516JcX8 (наша задача – с 20:23).
Коллега тоже решала задачу через векторы и неравенство Коши, только подобрала другую пару векторов. В процессе решения нужно было оценить сверху b√(1-b²). Здесь автор использовала производную, хотя тригонометрическая замена решает эту задачу в одну строку. Но школьники, которые готовятся на Перечневом уровне должны уметь решать и через тригонометрическую замену, и через производную.
в) Wild Mathing: https://www.youtube.com/watch?v=a_FL7jYlK5s
Здесь автор тоже заметил √3, но уже в контексте неравенства Коши. В видео он подробно рассказал как додуматься до нужного разбиения. Очень идейное решение. Нужно уметь филигранно использовать неравенство Коши. Оно там применяется аж дважды.
Посмотрите, насколько живые решения выше с подробно прописанными мыслями отличаются от того, что можно встретить в сборниках вариантов.
Когда вы готовитесь к олимпиаде или ДВИ, вы, конечно, сначала знакомитесь с новыми методами решения задач. Потом оттачиваете технику и набиваете руку.
И если в задаче вы решаете использовать, например, тригонометрическую замену, дальнейшие действия должны быть отработаны до автоматизма.
Однако, мало знать метод и уметь его применять.
Важно научиться распознавать, когда в задаче этот метод уместен. Для этого нужен определённый опыт.
Поиск разных подобных маркеров и индикаторов требует отдельной подготовки. Желательно, чтобы в процессе прорешивания вариантов вам помогал человек, которой владеет подобным навыком. И желательно, чтобы подобная работа велась персонально и в процессе живого общения.