Задание
На плоскости дано два ненулевых вектора с координатами (c; c) и (c; c²). Найти все действительные значения c, при которых угол между векторами будет равен 60°.
Решение
Обозначим вектор с координатами (c; c) как A, а вектор с координатами (c; c²) – как B. Косинус угла между ними cos 60° = ½ можно найти из их скалярного произведения A·B и длин (|A| и |B|):
½ = A·B / (|A|·|B|) или 2A·B= |A|·|B|
Исходя из условий задачи можно записать:
A·B = c·c + c·c² = c² + c³= c²(c + 1)
Таким образом
Последнее уравнение получается при делении обеих его частей на c² – это допустимо делать, так как по условию задачи c ≠ 0 и потому не приведёт к потере корней.
Из самого уравнения следует ещё одно ограничение для c: правая его часть неотрицательна, значит и 2(c + 1) ≥ 0, отсюда c ≥ –1. С учётом этого можно возвести обе части равенства в квадрат:
2²·(c + 1)² = 2(1 + c²) ⇔
2(c² + 2c + 1) = 1 + c² ⇔
2c² + 4c + 2 = 1 + c² ⇔
c² + 4c + 1= 0
Решим получившееся уравнение методом выделения полного квадрата:
c² + 4c + 1= 0 ⇔
c² + 4c + 1 + 3 = 3 ⇔
c² + 2·2·c + 2² = 3 ⇔
(c + 2)² = 3 ⇔
Корень c₂ не удовлетворяет критерию c ≥ –1, в отличие от c₁, которое таким образом является единственным числом, соответствующим требованиям условий задачи.
Ответ
Комментарий
Традиционно в математике и физике вектора обозначаются буквами со стрелочкой над ними. Однако раньше при типографском наборе это приводило к дополнительным техническим сложностям, удорожающим выпуск такой печатной продукции, в связи с чем издателями был придуман следующий приём, позволяющий при оформлении текста облегчать восприятие специальной символики: скалярные переменные величины набираются курсивом, а векторные – прямым жирным шрифтом. В этом случае, например, второй закон Ньютона записывается следующим образом:
F = ma.
Нетрудно видеть, что и мне при оформлении этой публикации пришлось прибегнуть к описанному приёму из-за ограниченных возможностей Дзена в форматировании текста.
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.