К этому парадоксальному утверждению приходили всерьёз многие философы, мистики, писатели. А в шутку – щёголи великосветских салонов, чтобы поразить воображение дам.
Можно вспомнить мысли Пьера Безухова о мироздании «и это всё – во мне!» (Лев Николаевич Толстой, Война и мир). Можно вспомнить Валентина Митрофановича Сидорова, его Ступени и в них вот эти строчки.
«Часть больше целого. Вот первый парадокс,
Который должно вам постигнуть ныне.
Твой Микрокосмос весь вмещает космос
И все эпохи в нём совмещены.»
Задумаемся и мы с вами.
Первый парадокс части и целого
Часть не совпадает с целым. Верно ли, что часть может быть равна целому?
Второй парадокс части и целого
Часть не совпадает с целым. Верно ли, что часть может быть больше целого?
Что тут думать! – воскликнут многие. – Часть всегда меньше или равна целому. Их совпадение в описании исходной ситуации исключено. Долька апельсина меньше, чем сам апельсин. Ответы: 1) «нет», 2) «нет». Но не всё так просто, дорогие читатели. Перед нами парадоксы второго рода. В описании исходной ситуации имеется недосказанность. Понятия больше, равно, меньше применительно к части и целому как к двум сравниваемым множествам (одно из которых подмножество другого) не сформулированы.
Попробуем сделать это разными способами, эквивалентными и естественными для конечных множеств, подразумевая, что часть – подмножество целого и в ней есть хотя бы один элемент.
Первый способ. Часть меньше целого, если после выбрасывания части из целого останется хотя бы один элемент, и равна целому, если не останется. Других вариантов нет.
Второй способ. Часть равна целому, если между элементами части и элементами целого можно установить взаимно-однозначное соответствие (часть и целое как два множества равномощны, как любят выражаться математики). Часть меньше целого, если она равномощна некоторому подмножеству целого и вместе с тем не равномощна всему целому. Других вариантов нет.
Третий способ. Часть меньше целого, если она равномощна подмножеству целого, не совпадающему с целым. Часть равна целому, если она равномощна целому. Часть больше целого, если целое равномощно подмножеству части, не совпадающему с этой частью. Третья возможность заготовлена про запас как естественное дополнение к двум первым возможностям. Если целое – конечное множество, то его часть либо меньше, либо равна целому.
А теперь приложим способы установления соотношения «больше», «равно», «меньше» между множествами, эквивалентные для конечных множеств, к счётным множествам. Простейшее счётное множество – множество натуральных чисел
N1={ 1,2,3, ... }
В общем случае счётное множество – множество объектов, пронумерованных натуральными числами.
Возьмём подмножество натурального ряда
N2={ 2,4,6, … }
состоящее из чётных чисел, а в нём подмножество
N4={ 4,8,12, … }
состоящее из чисел, которые делятся на 4.
Если выбросить N2 из N1, то останется множество
M2={ 1,3,5, … }
Если выбросить N4 из N2, то останется множество
M4={ 2,6,10, … }
При первом способе сравнения N2 меньше N1, N4 меньше N2 и вообще, если часть (конечная или нет) не совпадает с целым, то она меньше целого. Ответы на вопросы парадоксов: 1) «нет», 2) «нет».
При втором способе сравнения часть (N2) равна целому (N1) ввиду равномощности (2n переходит в n, а n переходит в 2n). Этот пример позволяет ответить «да» на вопрос первого парадокса. При втором способе сравнения часть не может оказаться больше целого. Поэтому ответы на вопросы парадоксов: 1) «да», 2) «нет».
При третьем способе сравнения множеств одновременно выполняется
1) N2 меньше N1, поскольку N2↔M2
2) N2 равно N1, поскольку N2↔N1
3) N2 больше N1, поскольку N1↔N4
Предъявленный пример позволяет ответить на вопросы парадоксов: 1) «да», 2) «да».
Спасаясь от логических противоречий в рамках двоичной логики, математики, предпочитающие второй способ сравнения множеств (при котором «больше» значит «мощнее»), запрещают себе использовать первый (для части и целого) и третий (для произвольных множеств) способы сравнения. Отказ от третьего способа ещё можно как-то понять, ибо он допускает невиданную для конечных множеств ситуацию «часть больше целого». Но отказ от первого способа сравнения противоречит практике работы с конечными множествами. Почему, на основании какого опыта первый способ сравнения должен быть отвергнут? Большинство людей, не углублённых в математическую игру ума, предпочли бы для части и целого именно первый способ сравнения, отбросив второй и третий способы.
Но и с ними, с практичными мыслителями, пытливый ум тоже не может согласиться. Почему нужно отбрасывать второй и третий способы сравнения, работающие для конечных множеств? И как без них сравнить две части целого?
Как же быть? Кому как, а мне по душе третий способ сравнения. Лучше допустить совмещение отношений «меньше», «равно», «больше» между бесконечными множествами, чем упрямо пытаться их развести (рассуждая о мощности множеств), не признавая совмещение удивительным отличием счётных множеств от конечных. От того, что феномен игнорируют, он не перестаёт быть феноменом.
Третий способ сравнения множеств не противоречит первому, так как возможность «часть меньше целого», обнаруживаемая при первом способе, учтена. И не противоречит второму, так как возможность «часть, не совпадающая с целым, равна целому», обнаруживаемая при втором способе, тоже учтена. Вместе с тем третий способ даёт более полную картину возможностей, добавляя третью возможность «часть больше целого», реализуемую совместно с первыми двумя.
К каким мыслям подводят нас рассмотренные парадоксы части и целого? Космос построен по принципу голограммы: в каждом фрагменте отражается весь космос (присутствует информация обо всём) и притом фрагмент неповторимо индивидуален. Индивидуальность каждого из нас вбирает в себя всё мироздание (включая образ самого себя при взгляде со стороны).
Ты можешь очень скромно выражать себя в текущем воплощении. И тем не менее в тебе есть то, что не имеет пределов и конца. И в этом, что не имеет пределов и конца, мы все равноценны и прекрасны.