Задание
В трёхмерном пространстве заданы два ненулевых вектора с координатами (–2c; c; c) и (c; c²; c³). Найти все действительные значения c, при которых векторы будут взаимно перпендикулярны.
Решение
Угол между двумя взаимно перпендикулярными векторами равен 90°, а так как скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними, то оно для векторов (–2c; c; c) и (c; c²; c³) по условию задачи должно быть равно нулю. С другой стороны. скалярное произведение векторов с координатами (x₁; y₁; z₁) и (x₂; y₂; z₂) есть
x₁·x₂ + y₁·y₂ + z₁·z₂
Исходя из этого в случае векторов (–2c; c; c) и (c; c²; c³) необходимо, чтобы выполнялось следующее равенство:
–2c·c + c·c² + c·c³ = 0
или
c⁴ + c³ – 2с² = 0
Решим получившееся уравнение. Вынесем c² за скобку:
c²·(с² + с – 2) = 0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получается, что или c = 0, или с² + с – 2 = 0. Корни уравнения
с² + с – 2 = 0
несложно найти по теореме Виета, они равны c₁ = –2 и c₂ = 1.
По условию задачи векторы не являются нулевыми, значит вариант c = 0 не подходит и нужным требованиям отвечают значения c₁ = –2 и c₂ = 1, которым соответствуют две пары векторов:
1) (4; –2; –2) и (–2; 4; –8),
2) (–2; 1; 1) и (1; 1; 1).
Ответ
c₁ = –2, c₂ = 1.
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.
