1_Внешнее касание двух окружностей.
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D. а) Докажите, что прямые AD и ВЕ параллельны. б) Найдите ВС, если радиусы окружностей равны √15 и 15.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/rAIVEpxaqdnp0A
Видео https://rutube.ru/video/5fa5b97bd671a6e34fab207fc588ed5c/
2_Внешнее касание двух окружностей.
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C. а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/K1LjNuHJOfoVKA
Видео https://rutube.ru/video/4c1009224929dd4a6e95d8b5468dfbc0/
3_Теорема косинусов
Из точки А к окружности проведены касательная АМ (М – точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках К и L (точка L лежит между А и К), такая, что треугольник АМК – остроугольный. Расстояние от центра окружности до хорды КМ равно половине радиуса окружности. а) Докажите, что угол АМК равен 60⁰. б) Найдите площадь треугольника АМК, если L – середина АК и радиус окружности равен 4.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/K8_4jbBr6NpW-A
Видео https://rutube.ru/video/6e328e7b9ba584b3a255cc3756fffa98/
4_Отношение площадей. Теорема косинусов
В прямоугольнике АВСD на стороне ВС отмечена точка К так, что ВК=2СК. А) Докажите, что ВD делит площадь треугольника АКС в отношении 3:7. Б) Пусть М – точка пересечения АК и BD, Р – точка пересечения DK и АС. Найдите длину отрезка МР, если АВ=8, ВС=6.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/8Jm7_B0TbjRAHA
Видео https://rutube.ru/video/acb741dadc5e6c6802f4c0a20adf0e5f/
5_Три окружности
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров. а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей. б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 3 и 2.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/FUcaxogK5kHbNA
Видео https://rutube.ru/video/ef46f651992690fba7c0e32b1c4a49ab/?r=wd
6_Внешнее касание трёх окружностей
Окружности с центрами в точках А, В и С и радиусами, равными а, b и с соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точках К, М, Р. а) Докажите, что отношение площади треугольника КМР к площади треугольника АВС равно 2abc / (a+b)(a+c)(b+c)
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника КМР, если известно, что а=6, b=7, с=1.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/w8hYrmK6k3pu_w
Видео https://rutube.ru/video/87fb07c8ff81e96a39b8160c7eafb323/?r=wd
7_Параллелограмм и окружность описанная около треугольника
В параллелограмме АВСD диагональ ВD равна стороне AD. а) Докажите, что прямая СD касается окружности ω, описанной около треугольника АВD. б) Пусть прямая СВ вторично пересекает ω в точке К. Найдите КD:AC при условии, что угол ВDA равен 120⁰.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/bNUIUeHoMV1Few
Видео https://rutube.ru/video/e2911d8e82bd3c6e4db6b2f417c1ea38/?r=wd
8_Трапеция и две окружности
Дана трапеция ABCD с основаниями АD и BС. Окружности, построенные на боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках Р и К. а) Докажите, что прямые РК и ВС перпендикулярны. б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что АD=20, BC=6, AB=16, DC=14.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/JKopt0doh89qRg
Видео https://rutube.ru/video/b3c053c2d053fdfce1214934791fa573/?r=wd
9_Условие принадлежности четырёх точек одной окружности
Диагонали АС и СЕ правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что АМ : АС = СN : СЕ и точки В, М и N лежат на одной прямой. а) Докажите, что точки В, О, N и D лежат на одной окружности (точка О – центр шестиугольника). б) Найдите отношение АМ : АС.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/1DlCH3Wzj51buw
Видео https://rutube.ru/video/e0defb796d3691e397bbdffb92cf2090/
10_Теорема косинусов
На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне треугольника построены квадраты АСDE и BFKC. Точка М – середина стороны АВ. а) Докажите, что СМ= 1/2 DK. б) Найдите расстояния от точки М до центров квадратов, если АС=14, ВС=16 и угол АСВ=150⁰.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/mPGogQjVUnVlkA
Видео https://rutube.ru/video/b51253e3163057cd782feab5c21258e6/?r=wd
11_Площадь параллелограмма
В параллелограмме ABCD точка Е – середина стороны АD. Отрезок ВЕ пересекает диагональ АС в точке Р. АB=PD. а) Докажите, что отрезок ВЕ перпендикулярен диагонали АС. б) Найдите площадь параллелограмма, если АВ=2см, ВС=3см.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/heqFsv-vOt520Q
Видео https://rutube.ru/video/fb97be59b733db4d85675229857f6695/
12_Свойство касательной и секущей. Подобие треугольников
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ. а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС. б) Найдите РN, если РА=30, РВ=10.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/gvx_WvCj2UcgMg
Видео https://rutube.ru/video/be881bbbeb5af6e3248ab9a9aea4f451/?r=wd
13_Свойства площадей. Подобные треугольники
Точка E – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O. а) Докажите, что CO=KO. б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 0,09 площади трапеции ABCD.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/wlYt6xYVjCF1VQ
Видео https://rutube.ru/video/f2c3f651146569e1d228afbac2dddbdd/?r=wd
14_Равнобедренная трапеция. Подобные треугольники
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого. б) Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC=16 и AB=10.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/tGRWTWhQjrZSvQ
Видео https://rutube.ru/video/9f4ce0028a00f56cc7b463ca7ddaff10/?r=wd
15_Прямоугольная трапеция. Окружность вписанная в четырёхугольник
В прямоугольную трапецию АВСD с большим основанием CD и прямыми углами А и D вписана окружность с центром в точке О радиуса R. Точка G – точка касания данной окружности и стороны АВ трапеции АВСD. Биссектриса угла АDС перпендикулярна стороне ВС и пересекает её в точке N. а) Докажите, что BN=(√2 –1)R.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/QHRwoJAnWC4GQg
Видео https://rutube.ru/video/74e3613deb00d5398bd726a1d888d534/
© Презентации PowerPoint 2003. Е. М. Савченко, 2024