Всем привет!
Конечно, каждый хоть раз слышал такое слово, как топология. И любой примерно представляет, что оно значит. И в сегодняшнем выпуске мы постараемся разобраться с этой относительно новой наукой. Нырнуть с головой нам с ходу не удастся, потому что данная дисциплина пестрит формулами и абстрактными непонятными определениями. Поэтому для начала мы окунёмся лишь немного. Надевай шапочку из фольги, и мы приступаем, ведь сегодня мы узнаем, сколько сторон у нашей вселенной и как расчесать волосатый шар, чтобы узнать погоду. Итак, тема выпуска "Элементарное введение в топологию и теорема о волосатом шаре".
Чаще всего, когда пытаются в двух словах описать топологию, то говорят, что топология – это геометрия на резиновой поверхности. Это определение довольно размыто, но тем не менее оно позволяет уловить суть предмета.
Топология изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях. В свою очередь непрерывные преобразования характеризуются тем, что точки, расположенные близко друг к другу до преобразования, остаются такими и после того, как преобразование закончено. При топологических преобразованиях разрешается растягивать и сгибать, но не разрешается рвать и ломать.
И первый вопрос, который сейчас должен возникнуть, а какие же это свойства такие? Что такое топологические свойства? Ясное дело, что не те, которые изучаются в обычной евклидовой геометрии. К примеру, прямолинейность – это не топологическое свойство, потому что прямую можно выгнуть в волнистую линию.
Квадратность – это тоже неподходящее свойство. Ведь квадрат мы можем превратить в круг с помощью топологических преобразований.
Итак, в топологии квадрат и круг – это одно и то же. Длины отрезков, величины углов, площади – все эти понятия изменяются при непрерывных преобразованиях, и о них следует забыть. Образцом же истинного топологического свойства является, к примеру, наличие дырки у бублика. Какую бы непрерывную деформацию не претерпел бублик, его дырка останется. Другое топологическое свойство – наличие края. К примеру, поверхность сферы края не имеет, сколько бы я ни гулял по шарику, ни к какому краю я подойти не смогу. А вот пустая полусфера уже имеет край, и никакое непрерывное преобразование не в состоянии этого изменить.
Существует очень много непрерывных преобразований, поэтому истинному топологу что бублик, что какая-нибудь другая штука с одной дыркой – всё едино. Интересно, что даже перекрученные и закольцованные дырки тополог без проблем может непрерывно преобразовать. Например, вот так.
В рамках топологии все объекты изучения называются топологическими пространствами. Интуитивно их можно представить как геометрические фигуры. Математики же их называют множества, наделённые дополнительным свойством, которое также называется топология. Т.е. слово топология имеет два значения – это одновременно и дисциплина, и характеристика фигуры. Т.е. мы имеем право сказать, что в рамках науки топология каждый объект обладает некой структурой, называемой топология. Примером топологического пространства или множества может служить поверхность сферы, бублика или двойного блика.
А теперь мы перейдём к, пожалуй, самой главной штуке в топологии - к понятию эквивалентности. Два топологических пространства эквивалентны, если можно непрерывным образом перейти от одного из них к другому и таким же образом вернуться обратно. Часто говорят, что тополог не отличит бублик от кружки, потому что это как раз и есть пример топологической эквивалентности.
Несложно заметить, что непрерывность можно разделить на прямую и обратную, и можно подобрать пример, когда прямое непрерывное преобразование можно будет выполнить, а обратное нет. Например, если мы возьмём два куска пластилина и соединим их вместе, то преобразование будет непрерывно, все близкие точки останутся близкими. Однако при обратном преобразовании, когда один кусок распадётся на два, близкие точки по разные стороны от линии разреза окажутся далеко друг от друга, т.е. преобразование уже не будет непрерывным.
А теперь перейдём к самому интересному - к различным выкрутасам топологии. Для начала возьмём обычную плоскость, т.е. пространство, не имеющее толщины, и поместим в неё двумерного жителя – славного плоскоземельщика он может перемещаться или смотреть только вперёд, назад, влево и вправо, никаких вверх и вниз для него попросту не существует. Посмотрим на его мир.
Хотя для нас с вами плоскость имеет две стороны, верх и низ, мы даже можем их раскрасить в разные цвета, но плоскоземельщик находится одновременно и сверху, и снизу, ведь плоскость по определению не имеет толщины, а плоский житель находиться не «на», а непосредственно «в» плоскости.
А потому возникает очевидный вопрос, является ли количество сторон у некого объекта топологическим свойством.
Например, мы можем скрутить конечную плоскость в цилиндр. У цилиндра есть края. Также у цилиндра мы можем отметить две стороны: красная внутри и синяя снаружи. Поместим плоскоземельщика в наш новый мир.
Рядом давайте нарисуем другую фигуру – лист Мебиуса. Для этого полоску бумаги перекрутим на 180 градусов и замкнём. В новой фигуре только одна сторона, можем проверить, попробуем закрасить сторону одним цветом. Так же в листе Мебиуса только один край. Тоже проверим, а после разместим плоскоземельщика и в этом мире.
Оба плоскоземельщика находятся внутри некого двумерного мира и оба знать не знают, что у мира есть стороны. Но со стороны третьего измерения мы четко видим, что у мира есть стороны или грани, и даже можем их подсчитать. Невероятность в том, что двумерный житель не скажет, сколько сторон у его мира. Он вообще не понимает о чём речь. Ведь он одновременно находится с обеих сторон. Внутри мира.
Иначе говоря, количество сторон зависит от того, рассматриваем мы плоскость саму по себе или как часть трёхмерного пространства. И вот тут возникает новый вопрос: сколько сторон у нашего с вами трёхмерного мира. Сперва вопрос кажется бредовым. Каких ещё сторон? У нас нет никаких сторон! Но ответ не так прост, если мы посмотрим на наш трёхмерный мир со стороны высшего пространственного или фазового измерения. К примеру, если за 4-е измерение взять время, то граней у нашего трёхмерного пространства будет 2 – прошлое и будущее, а вот если смотреть с позиции 4-го пространственного измерения, то жду вас в комментариях для обсуждения :)
Теперь каждому из нас понятно, что число сторон совершенно не банальный вопрос, на который-то и ответить с ходу не так просто, не говоря уже о том, чтобы понять топологическое это свойство или нет.
Однако существует явление, которое позволяет, не выходя за рамки собственного пространства, дать однозначный ответ, имеет ли твой мир одну или две стороны. Для реализации этого способа давайте снова посмотрим на наших плоских жителей. Один на поверхности цилиндра без крышки, а второй на ленте Мебиуса. Давайте предположим, что у плоскоземельщиков имеются руки с оттопыренными большими пальцами. Тогда им доступны понятия «правый» и «левый». Так же наши товарищи носят варежки на лапках.
И вот однажды просыпается такое существо на ленте Мебиуса и видит, что у него куда-то пропали все правые варежки. Остались только левые. Ну и не беда. Он берёт одну левую варежку, просто переносит её по кругу, и варежка оказывается правой.
Житель двустороннего мира (к которым относимся и мы с вами по мнению современной науки) не сможет провернуть подобного фокуса, сколько варежку не крути. Для нас с вами правое остаётся правым, а левое – левым.
Для существа с ленты Мебиуса понятие правого и левого имеет смысл лишь до тех пор, пока предмет не двигается и невозможно дать определение для правого и левого, которое бы годилось для всей поверхности в целом. В таком случае говорят, что поверхность не ориентируема. И, напротив, наш с вами мир, в котором можно без проблем однозначно определить правое и левое, называется ориентируемым.
При этом несложно заметить, что ориентируемость соответствует двусторонности, а неориентируемость односторонности. Оба этих свойства являются внутренними топологическими свойствами, не зависящими ни от какого внешнего пространства.
А теперь немного повысим обороты. Начнём из плоскости делать фигуры посложнее. Для начала снова сделаем цилиндр и ленту Мебиуса. Рассмотрим их внимательнее. Когда мы соединяем плоскость в цилиндр, то точки одного края склеиваем с соответствующими точками на другой стороне. Такое соединение назовём прямым. И обозначим вот такими сонаправленными стрелочками. Для ленты Мебиуса всё немного не так. В ней каждая точка одного края словно цеплялась к соответствующей противоположной точке. Назовём такое соединение обратным и обозначим стрелочками в разные стороны.
А теперь превратим цилиндр в тор, для этого просто его скрутим и замкнём. Давайте посмотрим, как именно соединились края изначальной плоскости. Желтенький край соединился с жёлтеньким, а зелёный с зелёным. При этом каждое соединение было в прямом порядке. Т.е. каждая точка одного края, соединилась с соответствующей точкой с другой стороны.
А теперь к гениальной идее. Как соединить ленту Мебиуса, чтобы получить из неё подобие одностороннего тора? К сожалению, в нашем ущербном трёхмерном мире такого сделать без самопересечений невозможно. Всё самое интересное начинается в 4-м пространственном измерении, но всё-таки попробовать нарисовать можно.
Существуют две фигуры, которые могут претендовать на звание трёхмерной ленты Мебиуса. Первая – это бутылка Клейна. Чтобы её получить, мы должны один край исходной плоскости соединить в прямом направлении, а второй в обратном. Итак, сперва соединяем плоскость в цилиндр, а после нужно замкнуть эти края в обратном направлении, для этого мы должны перекрутить один из выходов и постараться засунуть его во вход с другой стороны. Т.е. внутрь нашей фигуры.
Такой вот тор, в котором только одна сторона.
Итак, бутылка Клейна – это не ориентируемое топологическое многообразие, которое невозможно создать без самопересечений в трёхмерном мире, но вот в 4-х мерном запросто, и там она будет так же красива как тор в нашем, без самопересечений и без внутренней стороны. Прелесть ещё и в том, что бутылка Клейна – это неограниченное пространство, в котором если гулять в одном направлении, то вернёшься в исходную точку сохранив направленность, а вот если в другом, то так же вернёшься в исходную, но твоё право и лево поменяются местами.
Вторым кандидатом на трёхмерную Ленту Мебиуса является широко известная в узких кругах проективная плоскость. Пытаться построить её я не буду, а сразу покажу.
Вот тоже она только в полуразрезе, чтобы лучше рассмотреть её внутренности.
Чтобы её построить, мы должны в изначальной плоскости все противоположные стороны соединить в обратном порядке. Без самопересечений в трёх измерениях сделать такого, конечно, невозможно.
В этом месте возникает вполне практичный вопрос: а на кой чёрт нам нужны все эти знания, как это мне поможет в обычной жизни? Ну что-же, во-первых, конечно, не плохо было бы знать, какой формы наша с вами вселенная. Ведь нельзя отрицать возможность существования по особому закрученной вселенной, когда если полетишь вверх, то прилетишь снизу, а если вправо, то вылетишь слева и сердце у тебя будет с другой стороны. Вопрос этот настолько интересен, что об этом есть отдельный выпуск, какой формы наша вселенная и какие существуют методы зафиксировать её искривления.
В этом же выпуске рассмотрим один из примеров использования топологии на практике. И возможно одну из самых простых её теорем. А именно теорему о волосатом шаре.
Конечно, для обзора этой теоремы мы могли бы использовать любой объект, изначально покрытый шерстью, например собаку, но с точки зрения топологии, собака эквивалентна сфере, стоит только ей втянуть ноги и немного надуть, и пользоваться мы будем сферой. Это намного удобнее.
Итак, для начала наш шар отрастит немного шерсти, а затем каждый волосок наклоним. Заметим, что у нашего шара есть участки, где шерсть гладкая, но также есть макушка. Т.е. место, где гладкость нарушается. И теперь у здорового тополога сразу возникает вопрос: можно ли причесать сферическую собаку таким образом, чтобы не было ни проборов, ни макушек. Этот вопрос полностью относиться к топологии, ибо при любой непрерывной деформации такого шара гладкая шерсть останется гладкой, а макушка останется макушкой.
Так вот топологические методы позволяют установить (хотя в подробности мы вдаваться не будем, это очень сложный момент), что гладко причесать шар не получится.
Лучшее, чего можно добиться, – это причесать волосы так, чтобы осталась лишь одна макушка.
Конечно, значение теоремы выходит за рамки причёсывания воображаемых сферических собак, и вообще-то в корректной формулировке говорится о векторных полях на сфере. Поверхность земли, к примеру, так же представляет собой сферу, если мы попробуем изобразить направление воздушных потоков, дующих над поверхностью земли в атмосфере, то как раз получим своего рода причёску, где линии волос будут играть линии, изображающие потоки. Наша теорема утверждает, что не существует гладкой системы ветров, разве что за исключением полного безветрия, что также невозможно, но по другим причинам. Т.е. на нашей планете обязательно где-то да есть циклон.
Таким образом, зная только форму планеты, мы можем делать заключение о поведении ветров, без всяких сведений о том, куда дует ветер на самом деле.
Хотя если бы планета была тороидальной формы, то на ней вполне себе могли бы дуть ветра безо всяких циклонов. На топологическом многообразии, эквивалентном тору, вполне возможно расчесать волосы таким образом, чтобы не было макушек и проборов.
Именно для создания постоянного векторного поля токамак имеет форму бублика, а не сферы. Но все тонкости этого вопроса мы уже разбирали в выпуске о токамаках.
Теорема о волосатом шаре может, конечно, не только поведение погоды предсказывать. Также с её помощью можно вывести и вовсе основную теорему в алгебре. И да это не игра слов. Действительно, существует такая теорема, и она на самом деле так и называется - основная теорема алгебры.
Но это уже совсем другая история. А сегодня наше ментальное путешествие заканчивается. Всем добра и только хорошо причёсанных волосатых шаров! :)