Математическая модель — мощный инструмент современного ученого, помогающий увидеть и точно описать общие закономерности в самых разных явлениях. Яркий пример — паттерны Тьюринга и реакционно-диффузные модели. Их сложно понять без помощи формул: тем, кто пытается это сделать, пригодится метафора с пожаром и потеющими кузнечиками, которую предложил оксфордский профессор Джеймс Мюррей.
Знаменитый математик и специалист по криптографии Алан Тьюринг изменил ход развития точных наук и стал одним из отцов современного компьютера. Помимо этого, он внес огромный вклад в математическую биологию благодаря всего одной статье — «Химические основы морфогенеза» (The Chemical Basis of Morphogenesis), — опубликованной в 1952 году.
Вооружившись формулами и подходом теоретика, Тьюринг попытался найти универсальный закон морфогенеза. То есть развития самых разных живых существ — от растений до полипа-гидры и коровы. Его формулы должны были также описать, как на шкурах животных появляются характерные узоры — вроде полос у зебры, пятен у гепарда и многих других.
Суть идеи Тьюринга — предположение о морфогенах, то есть гипотетических веществах или частицах, которые управляют процессом формирования живого организма. Первый морфоген — это активатор, который увеличивает собственную концентрацию (работая как автокатализатор) и с растущей скоростью распространяется вокруг.
Второй — ингибитор, который противодействует активатору и нейтрализует его эффект, если оказывается рядом. И то, и другое определяют некоторые химические реакции. Помимо этого, оба вещества распространяются по механизму диффузии — из мест с высокой концентрации в области с низкой.
Ингибитор обязательно должен диффундировать быстрее активатора, «обгонять» его. В противном случае самоорганизации сложной системы и паттернов ней не возникнет. Сегодня, кроме оригинальной модели Тьюринга, предложено множество сходных, основанных на том же принципе, — их называют реакционно-диффузными.
Не покушаясь на довольно сложную математическую основу (которая подробно изложена в статье самого Тьюринга и его последователей), приведем яркую, хоть и не слишком реалистичную иллюстрацию сути модели. Ее придумал известный математический биолог профессор Оксфорда Джеймс Мюррей (James D. Murray). Образ приобрел большую популярность и часто используется для пояснения идей Тьюринга.
Представим поле, покрытое сухой травой и населенное многочисленными кузнечиками. Это не совсем обычные насекомые: когда им становится жарко, они начинают активно прыгать и сильно потеют — выделяют вокруг себя много жидкости. Реальные кузнечики, при всех своих преимуществах, на такое не способны.
Так вот, в какой-то момент поле кузнечиков по неизвестным причинам начинает гореть. Огонь появляется сразу в нескольких местах, разгорается все сильнее и оставляет за собой черные полосы сгоревшей растительности, которая не может загореться по второму разу и в итоге остается обугленной.
Тем временем кузнечики, потревоженные пламенем, начинают быстро скакать по траве и обильно потеть. Их скорость заведомо больше той, с которой распространяется пламя, — как мы помним, это имеет ключевое значение для появления паттернов. Пот насекомых смачивает траву вокруг них, из-за чего та не может загореться и останавливает пламя.
В этой забавной сцене огонь, распространяющийся по траве, играет роль активатора, который усиливает сам себя и фронтом распространяется везде, где только сможет. А кузнечики — ингибитор, который сам по себе не меняет среду, зато мешает перемещению огня на новые участки. «Диффузия» в таком случае — это увеличение площади, затронутой пожаром (распространение огня) или перераспределение насекомых по полю.
Если бы «ингибиторных кузнечиков» не было, пламя быстро выжгло бы траву, распространившись повсюду и превратив поле в сплошное пепелище черного цвета. С другой стороны, если бы пожар вообще не начался (например, из-за исходного избытка потных кузнечиков), трава тоже так и осталась бы одноцветной — оттенка пожухлой зелени. И только распределенные в пространстве взаимодействия активатора и ингибитора наряду с их диффузией, происходящей с разной скоростью, создают замысловатые и в то же время закономерные и предсказуемые паттерны Тьюринга.
Примерно то же (с точки зрения математической модели) происходит при формировании узоров на шкурах или коже животных. Области, «завоеванные» распространяющимся веществом-активатором, образуют пятна леопарда или полоски зебры. Они темнее окружающего фона из-за высокого содержания пигментов-меланинов. Это окрашенные соединения, которые придают темный цвет волосам или глазам человека и животных и активно вырабатываются после воздействия ультрафиолета. Именно поэтому регулярный отдых на пляже или посещение солярия делает нас загорелыми. Однако в этом случае окраска не вызвана какими-то внешними факторами — это следствие развития организма на самых ранних стадиях. Точнее, самоорганизации его исходно однородной поверхности.
Само собой, паттерны Тьюринга стали известны прежде всего как орнаменты на шкурах животных и попытка разгадать древнюю загадку, которая интересовала и древних людей, и Редьярда Киплинга — автора сказки «Как леопард получил свои пятна».
Вскоре стало понятно, что модель Тьюринга действительно хорошо описывает развитие многих живых существ и образование орнаментов на их теле. Однако далеко не всех — так что «единого закона морфогенеза» вывести не удалось. Зато реакционно-диффузные модели успешно описали множество других сложных систем: как биологических (образование пятипалой конечности, отпечатков пальцев, распределение фолликулов в коже), так и не связанных с живым (скажем, колебательные химические реакции или «круги фей» в пустыне).
Это заставляет лишний раз вспомнить замечательный афоризм специалиста по статистике Джорджа Бокса: «Все модели врут, но некоторые тем не менее полезны» (All models are wrong, but some are useful). Иными словами, математические модели хороши, если уметь ими пользоваться.