В прошлом году мы опубликовали серию статей про математические крючки.
Крючки – это занимательные математические задачи, факты, сюжеты, наблюдения, которые потенциально могут зацепить учеников.
Теперь, когда мы знаем про уровни обучения, можно поговорить и про типы крючков.
Крючки бывают двух типов: внешние и внутренние.
Почти все крючки, которые мы рассматривали до этого, были внешними.
Задача про репку, дихотомический поиск числа до 1000, игра «Муха», игра «Быки-коровы» и проч. – всё это было чем-то отдельным, лишь косвенно связанным со школьной программой.
Эти задания ценны сами по себе. Как такового обучения в них не очень много.
Если у вас стоит задача с пользой развлечь незнакомый вам класс или взбодрить группу учеников, вам помогут именно внешние крючки.
Проблема внешних крючков в том, что они довольно поверхностные.
Они яркие и запоминающиеся. Ученики могут рассказать о них родителям или своим друзьям.
Но дальше, по мере развития ученика, их эффект всё слабее и слабее. В старших классах такие задания становятся просто развлечением.
Молодым преподавателям нравятся подобные задания. Они обычно составляют бОльшую часть их методической копилки.
Внутренние же крючки совершенно иные.
Они порождаются тем материалом, который в данный момент изучает ученик.
Устроены они так.
Ученик спокойно идёт по своему уровню. Решает задания на какую-то определённую тему. То есть просто нарабатывает навык решения задач, постепенно повышая их сложность.
А потом в какой-то момент неожиданно попадается задача, похожая на предыдущие. Но если использовать знакомый метод, то это просто длинная скучная техническая задача. В стиле «Ну понятно же как её решать, просто долго...».
Однако, это же задание можно решить иначе. Принципиально иным методом.
Обычно этот новый метод характерен для следующего уровня обучения.
Чтобы было понятно, о чём идёт речь:
1. Тема «Разложение многочлена на множители», раздел «Выделение полного квадрата».
Разложите на множители следующие выражения: x⁴-x²-2x-1, x²y²-x²+4xy-y²+1, x²-2x-624, x⁴+4, x⁴+x²+1.
Все эти задачи решаются по одной схеме: видим полные квадраты сразу или понимаем, чего не хватает до полного квадрата; добавляем и вычитаем нужное; получаем разность квадратов.
Когда ученики осознали принцип, то последнюю задачу они решают достаточно быстро:
x⁴+x²+1 = x⁴+2x²+1-x²=(x²+1)²-x² = (x²+1-x)(x²+1+x)
Однако, после подобного решения можно (и нужно!) показать и другой метод разложения.
Домножим и разделим трёхчлен на x²-1: (x⁴+x²+1)(x²-1)/(x²-1) = (x⁶-1)/(x²-1).
Теперь нужно разложить на множители числитель и знаменатель. Числитель разложим как разность квадратов. А потом получившиеся скобки как сумму и разность кубов. Важно именно в такой последовательности. Если начнём разложение сразу с разности кубов, то получим просто исходное выражение.
(x⁶-1) / (x²-1) = (x³-1)(x³+1) / (x-1)(x+1) = (x-1)(x²+x+1)(x+1)(x²-x+1) / (x-1)(x+1) = (x²+x+1)(x²-x+1)
Мы разложили x⁴+x²+1 на множители двумя способами. Второй способ – принципиально новый.
И вот такой способ решения может стать для некоторых учеников внутренним крючком.
Пока мы действовали в парадигме полных квадратов, подобный метод мы никак не смогли бы поднять.
На дом помимо заданий на выделение полного квадрата можно дать вот такие два выражения для разложения: x¹⁰+x⁵+1 и x⁵+x⁴+x³+x²+x+1.
Для занятий с учениками следующего уровня такая идея разложения на множители, наоборот, может стать точкой старта.
Да и вообще перечневикам-олимпиадникам полезно знать, что x²+x+1 и x²-x+1 зашиты в качестве множителей в x⁴+x²+1.
Выделение полного квадрата – Высокобалльная тема. Домножение и использование разности степеней – Перечневая тема.
2. Системы линейных уравнений с двумя неизвестными.
Вспоминаем сначала метод подстановки, потом метод алгебраического сложения.
В некоторых случаях подключаем ещё и замену переменных.
Затем переходим к линейным уравнениям с трёмя неизвестными. Для таких уравнений на практике с обычными школьниками удобнее всего работать с подстановкой, а с продвинутыми по возможности использовать алгебраическое сложение.
Тема полезна при подготовке к ЕГЭ, когда по трём точкам находим уравнение параболы. Там как раз появляются такие системы.
И наконец можно перейти к такой системе уравнений с четырьмя неизвестными.
Задание 1.27. из учебника Галицкого: «Решите систему уравнений: x + y + z = 7 // x + y + v = 11 // x + z + v = 15 // y + z + v = 3»
Для тех, кто неуверенно работает с системами, я обычно использую три уравнения и три неизвестных.
Кстати, у Галицкого есть наводка: сначала нас просят найти сумму всех неизвестных.
Само решение простое. Сначала нам нужно сложить отдельно левые и правые части всех (!) уравнений. После деления на 3 получаем равенство x + y + z + v = 12.
То, что можно складывать не два уравнения, уже может удивить ученика.
Но даже на этом этапе многие не понимают, что нужно делать дальше.
А нужно просто взять любое из равенств исходной системы и заменить буквенное выражение на число.
То есть если x + y + z + v = 12, а x + y + z = 7, то 7 + v = 12.
Отсюда получаем, что v = 5.
Так повторяем для всех выражений исходной системы.
Вот сам трюк с подменой выражения часто становится крючком. До этого средний ученик не видел подобных идей. И вообще не знал, что так можно было делать.
3. Задания на разрезание и замощение.
Это стандартная кружковая тема: есть какое-то поле, есть фигурки, нужно этими фигурками покрыть поле.
Например, замостить некоторый прямоугольник пентаминошками.
После того, как ученики по-разному позамощают, можно дать такую задачу: «Сложите из доминошек 2×1 квадрат 10×10 так, чтобы ни в какой точке не соприкасались уголками четыре доминошки»
Проблема в том, что придумать правильное замощение сразу для большого квадрата 10×10 довольно сложно.
Школьники обычно какое-то время пытаются это сделать, но как правило терпят неудачу.
Принципиальная идея: решить сначала другую, более простую задачу.
Если начать с маленького поля 4×4, то задача становится решаемой даже простым перебором.
Потом можно подумать, как лучше её докрутить до 6×6. И далее, разглядев общий принцип, можно добить до 10×10.
Вот здесь тоже получается крючок.
Школьник знакомится с совершенно иным подходом к заполнению, содержательнее даже самого продвинутого перебора.
Начать с малого, сделать следующий шаг, найти принцип и применить его для большой задачи.
Продвинутые читатели наверняка заметили здесь индукцию.
Всё верно. Это задание из книги «Индукция без формальностей» (Шаповалов А.Д.) серии «Школьные математические кружки».
4. Системы нелинейных уравнений.
Допустим вы с учениками решаете системы алгебраических уравнений.
Уже научились делать правильные замены, освоили метод деления и умножения, научились использовать однородность, поняли решение симметричных уравнений.
Можно на определённом этапе дать вот такую задачу: «Положительные числа а, b, c, x, y, z таковы, что x²+xy+y²=a²; y²+yz+z²=b²; x²+xz+z²=c². Выразите величину Р=xy+yz+xz через а, b, c»
Задачу можно переформуливать для конкретных чисел a, b и c.
Это задание решается не через алгебру. Это геометрическая (!) задача.
Если знать как записывается теорема косинусов для треугольника с углом 120°, то левые части записываются понятным образом. А нужная нам величина получается из площади некоторого треугольника.
На дом можно дать задачу: «Положительные числа a, b и с таковы, что а² + b² – ab = c². Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0».
Подробнее про решение этих двух задач можно прочесть в книге «Геометрия в негеометрических задачах» (Блинков А.Д.)
Сам факт того, что вы решаете какое алгебраическое уравнение или систему геометрическим методом обычно уже является крючком.
Указанная книга содержит много крючков. Правда, их ещё нужно суметь правильно применить.
5. Задача с модулями.
Решите уравнение: |x - 2| + |x - 1| + |x| + |x + 1| + |x + 2| = x² - 4
Эту задачу можно давать тогда, когда ученик уже научился использовать метод интервалов для модулей.
Если решать её в лоб, то нужно сначала разбить числовую ось на шесть участков и далее на каждом участке находить корни. Однако, так можно зарыться в вычислениях.
Но если остановиться и подумать, то можно заметить, что левая часть уравнения неотрицательная. Тогда и правая часть тоже неотрицательна. Поэтому x²-4≥0. То есть возможно лишь два варианта: x≥2 или x≤-2.
В итоге рассматриваем только эти две области и сокращаем вычисления в три раза.
Сам факт того, что в решении можно сразу использовать область определения, для многих учеников даже Высокобалльного уровня кажется нетривиальным. Обычно такие идеи работают на Перечневом уровне.
На примере этих пяти заданий можно сделать вывод о некоторых особенностях внутренних крючков.
Их все можно описать известной картинкой-мемом «А чё так можно было, что ли?!».
Ученик сначала использует инструменты определённого уровня мышления. А потом преподаватель показывает принципиально иной метод, который щёлкает технически сложные задачи как орешки.
Внешний крючок часто становится самоцелью. Порой весь урок построен так, чтобы показать его. Не будет его – считай урока не было.
Внутренние крючки идут в связке с основной темой занятия. Возможно даже времени на него и не хватит. И это никак не повлияется на сам урок – всё необходимое вы и так прошли.
Грамотный устный счёт почти всегда является внутренним крючком. Как и любое решение задачи новым эффективным методом.
Все внутренние крючки появляются на стыке двух уровней. Поэтому преподавателю так важно уметь преподавать для учеников разных уровней.
Внутренний крючок как и юмор построен на обмане ожидания. Ученик просто спокойно работает, но потом получает от занятия больше, чем ожидал. В ваших занятиях скрыт клад и причём иногда и не один: «Искали медь, а нашли золото».
Внешние крючки даёт учитель. Но если рассказать ученику как работает внутренний крючок, то он сможет получать удовольствие от самообучения. Научится замечать и ценить новые методы решения. Увидит ценность в другом стиле мышления. Тогда внезапно математика становится «интересной».
Есть крутые преподаватели, которые со стороны могут показаться нудноватыми. На их занятиях нет фейерверка. Стороннему человеку решение задач может показаться тоской смертной. А у педагога якобы нет блеска в глазах.
Но на самом деле блеск есть, но другой. У таких преподавателей на первом месте стоят ученики и внутреннее содержание предмета. Первичны именно они.
Такие учителя стоят где-то в стороне и лишь аккуратно направляют процесс. Их не пошлют на конкурс Учитель года – такая работа слишком незаметна для демонстрации.
А ученикам эти занятия нравятся. И им самим даже непонятно почему.
Внутренние крючки довольно тихие, но всегда имеют сильное влияние на учеников. Они растят ценность математики для ученика.
Вообще, это одна из задач учителя – подрастить ценность и значимость преподаваемого предмета для ученика.
Кстати, в контексте занятий можно за счёт этого целенаправленно повысить собственную ценность преподавателя в глазах учеников.
Обратите внимание, что словами или какими-то психологическими манипуляциями такую ценность не поднять. Репетиторский эффект доброго малого или закадычной старшей подружки, которая нашла подход к конкретному ученику, действует недолго. Для ученика ценность педагога как человека ограничена контекстом. И этот контекст – совместные занятия математикой.
Одна и та же задача может как быть крючком, так и не быть крючком вовсе.
Учитель на кружке может просто идти по стандартным нестандартным темам.
Например, раз тема инвариант и раскраски, то можно просто рассказать её как есть. Но это спокойная планомерная работа с уже мотивированными и подготовленными детьми. Они узнают много нового, но вряд ли что-то их поразит.
Есть много красивых методов. Выше я упомянул про две книги. Для вас там тоже будет много интересного и познавательного. Но это не будет крючками ни для вас, ни для учеников, которым вы эти книги просто посоветуете. Для крючка важна неожиданность.
Преподавателям нужно учится решать одну и ту же задачу разными способами. Принципиально иными. Сила и красота математики именно в этом. Задача под другим углом – это почти всегда крючок.
Можно даже делать целый урок-крючок в стиле «Одна задача – несколько решений».
Обычно, подобные статьи можно найти в методических журналах.
Первое, что пришло на ум:
1. «Об одном неравенстве» (Пратусевич М.Я.)
2. «Пример сквозной задачи» (Соломин В. Н.)
3. «Первые уроки по теме Решение тригонометрических уравнений» (Соломин В. Н.)
Все три статьи взяты из Сборника методических материалов по математике учителей Президентского ФМЛ № 239. — Ч. 1,2.
Для класса групповой эффект крючков сильнее. Потому что чудо узрели сразу несколько человек. Происходит социальное заражение математикой.
Пока прервёмся.
Дальше поговорим о том, как внутренние крючки связаны с мотивацией. И что на самом деле влияет на мотивацию учеников.