Математическое моделирование находит применение в физике (законы Ньютона, уравнения Максвелла, уравнение Шредингера и др.), химии (реакция Белоусова-Жаботинского, уравнение Аррениуса и др), биологии (модель хищник-жертва, модели нейронов, компартментная модель и др.), экономике (модель хищник-жертва (Лотки-Вольтерры), модель Мальтуса, модель Эванса и др.), социологии (компьютационная теория социальных систем, модель распространения вируса и др.) и других областях науки.
Математические модели предоставляют возможность проанализировать поведение реальной системы в различных условиях. При наличии в модели переменной времени ее поведение можно анализировать в настоящем, прошлом и будущем.
Абсолютно точных моделей не бывает по нескольким причинам. Во-первых, для повышения точности требуется значительно увеличивать сложность математических выражений в них. Во-вторых, сложно правильно оценить все условия и параметры реальной системы, чтобы все их перенести в модель. В-третьих, методы поиска решений моделей (как аналитические, так и численные) могут давать свои погрешности. Последнее означает, что, даже если мы имеем абсолютно правильную модель, мы будем иметь некоторый уровень ошибок или вообще можем упустить часть решений.
Если модель линейна, ее решение – это относительно простая задача. Под простой здесь понимается задача, решение которой гарантированно можно найти (или определить его отсутствие) пусть даже при выполнении очень сложного алгоритма действий. Главное преимущество линейных моделей – их можно разложить на отдельные простые части, решить по-отдельности и сшить все решения в одно на последнем шаге. Кроме того, линейные модели очень хорошо настраиваются. Недостатком почти любой линейной модели является то, что в природе не существует систем с чисто линейной зависимостью между параметрами и переменными. Однако этот факт не мешает успешно использовать линейные модели в некоторых заранее оговоренных пределах значений параметров реальной системы.
Как только мы попытаемся учесть хотя бы одну нелинейную зависимость между параметрами и переменными в реальной системе, модель в целом станет нелинейной и ее исследование становится очень сложной задачей. Сложность заключается в том, что не существует готовых алгоритмов действий, позволяющих гарантированно найти все существующие решения произвольной нелинейной модели или показать, что решений нет. Поэтому изучение каждого отдельного класса нелинейных моделей часто задает отдельное направление исследований не для одной группы ученых.
Исследование реальных систем на моделях позволяет сберечь время и средства на дорогостоящих экспериментах, которые можно проводить более точечно и в меньшем количестве. Однако поведение реальных систем является настолько сложным, что учесть все их особенности практически невозможно. Чем грубее модель, тем больше шансов ее полноценно исследовать, но тем менее ценными будут результаты для реальной системы. И чем модель точнее, тем важнее каждый небольшой прорыв в исследовании ее поведения.
p. s. Чтобы сразу увидеть новый материал в моем блоге в своей ленте, подписывайтесь! Буду рад комментариям, вопросам, предложениям.