Здравствуй, мой дорогой читатель!
Оттого, что ты стал таким немногочисленным, - ты становишься для меня все более и более дороже, с каждым новым днем моего бренного существования!
Настоящая статья предлагается вниманию школьника, - в первую очередь. Несомненно, она будет интересна и их бабушкам и дедушкам. Не стану возражать, если с моим творчеством ознакомится какой - нибудь сторонний взрослый дяденька или тетенька, - тоже.
Выше, я записал ряд мат. символов в виде углов различного вида ( Острой, тупой, прямоугольной формы - не важно. Важно, что мат. символы записаны с помощью только одних углов!). Принято считать, что такой ряд мат. символов носит название арабских чисел. Однако, это очень условное название. Основывается оно на том, что отдельные современные цифры, напр."5" или "3", впервые встречаются в трудах по матем. у арабских или индийских мудрецов. Надо заметить, что остальные цифры,- у них записаны в виде символов, напоминающих козявок, гусениц, жучков и паучков. В этой среде, цифра "5" напоминает силуэт поварешки или половника, а цифра "3" похожа на созвездие "Кассиопеи"- и только! Никакой СИСТЕМЫ в такой записи не просматривается, а стало быть, называть такую запись мат. цифрами - мы можем, но только условно. Увы! Однако сама идея: Придать каждой цифре строго индивидуальное начертание (или написание) - несомненно хороша. И она нашла понимание у древних математиков не только арабского происхождения, но и прочих людей. Усилиями математиков, проживающих в самых разных странах и континентах, шаг за шагом, трансформировалась запись цифр, пока она не приобрела " уголковое" написание. В такой записи уже ясно просматривается системность. Это значит, что любой человек, даже незнакомый с математикой, уверенно скажет, что цифра "5" больше цифры "3", по значению, поскольку первая - записана пятью уголками, а вторая - только тремя. И не только оценит приблизительно, а совершенно точно скажет: "Цифра "5" больше цифры "3" строго на две позиции, поскольку от пяти уголков отнять три уголка - получим два уголка." Вскоре "уголковая" запись цифр подверглась каллиграфической стилизации (упрощению). Посчитали целесообразным отказаться от мелких деталей в написании цифр в виде выступающих частей и мелких "завитушек". А в цифре "4" - , например, сочли достаточно утомительным занятием, дважды попадать пером в одну и ту же точку. Неудивительно, что верхний угол, чаще записывают двумя параллельными линиями. А все цифры, в дальнейшем, обрели округлую форму написания и первоначальная "угловатость" в написании всех цифр,- исчезла навсегда, не только из общепринятого стиля их записи, НО И ИЗ ПАМЯТИ ПОСЛЕДУЮЩИХ ПОКОЛЕНИЙ ШКОЛЬНИКОВ и прочих взрослых человеков!
Вот с некоторого момента, математика превратилась из описательной, в строгую и точную науку. А главное: математики заполучили в свое распоряжение ДОКАЗАТЕЛЬНУЮ БАЗУ в своей дальнейшей работе с числами и прочими мат. выражениями. Подчеркну: Все это стало возможным, только благодаря "уголковой" записи ЦИФР, на которую стала первоначально опираться такая же "уголковая" запись ЧИСЕЛ. Подробнее об этом, чуть позже.
Вопрос: Почему мы применяем, при написании абсолютно любых чисел, только десять цифр, но не восемь или двенадцать?
Дело в том, что мы опираемся на десятичную систему счисления чисел. А та, как ни странно, исторически связана с наличием у человека пальцев на руках - в количестве 10 штук. Так повелось, чтобы обозначить сколько стоит, к примеру сюртук, продавец показывает неграмотному покупателю нужное количество пальцев, а покупатель лезет в свой кошелек и вынимает монеты в том количестве, сколько пальцев показал продавец. И обоим одинаково понятно такое специфическое телодвижение. Так- же поступает и дошкольник, когда хочет заполучить несколько вкусных конфет от своей мамы. Когда не хватает пальцев обоих рук, ребенок опускает руки на мгновение, а затем поднимает их вновь и начинается новый отсчет. А мама понимает, что к "прежним" 10 пальцам надо прибавить "новые" пальцы, чтобы дать своему ребенку требуемое им количество конфет. Десятичная система счисления чисел сложилась, исторически,- сама собой, а математики лишь описали наличие 10 - ти пальцев, 10 -тью цифрами , не ломая устоявшуюся систему.
Выше я показал как выглядит известный всем ряд цифр, записанных "уголковым" стилем. ( Интересующие нас углы в цифрах, - я пометил красными точками ). Цифру ( именно цифру, а не число) "десять", я записал в виде "звездочки" ( 10 уголков). В среднем ряду, я записал некоторые цифры в другом варианте ( и "звезду" - тоже.). В нижнем ряду, я записал как выглядят "уголковые" цифры в современном написании без внешних выступающих мелких деталей и как могла бы выглядеть цифра "звезда", записанная несколько иначе. Здесь отсутствует цифра ноль. ("0" - означает: пусто или ничего ). Поначалу, нужды в такой цифре не было никакой, поскольку успешно обходились рядом натуральных чисел. Вот подскажите, как мне прикажете понимать такое положение вещей, когда наличие пальца на руке описывалось цифрой ноль: ЭТО ЕСТЬ пальчик или ЕГО НЕТ?! Как сочетаются два понятия одномоментно: физическое наличие пальца на руке и его "математическое" отсутствие? Лишь несколько позже значение цифры "0" возросло настолько, что она смогла уверенно вытеснить цифру "звезда" из десятка цифр. Цифра "звезда" стала записываться уже двузначным числом "10". Оставить одиннадцать аутентичных, по написанию цифр, - означало обеспечить существенные неудобства математикам в будущем. Цифра, означающая "10 углов" в виде "звездочки", - уже навсегда исчезла из математики.
Запишем ряд мат. символов в той последовательности, как это принято нынче делать:
( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ),10,11,12,13....20,21,22,23...30,31,32,33...40,41,42,43...и.т.д.
Такая запись чисел выполнена согласно требованиям ДЕСЯТИЧНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ЧИСЕЛ !!!
Почему ДЕСЯТИЧНОЙ - я уже сказал выше.
Почему ПОЗИЦИОННОЙ - скажу немного позже.
В многочисленной печатной литературе неоднократно говорится, что мат. символы, записанные в виде двузначных, трехзначных и прочих многозначных выражений, всегда следует называть - ЧИСЛАМИ !!! Абсолютно во всех случаях!
Мат. символы, выделенные из общего ряда чисел скобками, - могут называться и ЦИФРАМИ и ЧИСЛАМИ.
И вот тут на голову несчастного первоклашки обрушивается поток объяснений по поводу того: что такое цифра и что такое число, и чем они отличаются друг от друга, например такие:
ЦИФРА - это некий мат. символ или просто- значок. С помощью этого значка записывается число. Цифрой описывают, чаще всего, некий порядок или расстановку цифр в самом числе.
ЧИСЛО - это другое. Число - это выражение количества. Числа можно умножать, делить, складывать и вычитать. Так поступать с цифрами - нельзя. Можно "насобирать" еще кучу объяснений и пояснений и посчитаем, что достаточно определились в терминах: "число" и "цифра". Тогда давайте переведем дух и поучаствуем в следующем эксперименте:
Попросим первоклассника подойти к школьной доске, взять в руку мел и молча нарисовать на доске такой мат. символ:
"7" - и более ничего!
Мой читатель пускай подумает и скажет: Что он видит на доске, ЦИФРУ: "7" или ЧИСЛО: "7"!
Наверняка начнется разнобой мнений и всякие шатания типа: "Вроде бы это цифра "7". Вот если бы семерка умножалась или складывалась с другим мат. символом- тогда это было бы число. Или, если к семерке приписать некоторое содержание, например яблоки - тогда число. Ну, а так - это, определенно, цифра."
Я предлагаю оценивать такую запись совершенно однозначно, без всяких "если","кабы", "льзя" или "нельзя". Я уверенно и однозначно заявляю, что мелкий школьник, мелом, записал на доске именно ЧИСЛО "
Моя уверенность опирается на собственный метод оценки мат. записи, который я, так самоуверенно, назвал четырьмя постулатами. Некоторой новизной отличается только первый постулат, остальные - концентрируют внимание на известных всем оценках таких понятий, как число и цифра.
Постулат № 1.
Он опирается на МАТЕРИАЛЬНОСТЬ какой- либо мат. записи с использованием цифр и чисел. Нам всегда "интересны" были и будут, в своей практической жизни, только числа. Мы их складываем, умножаем, находим корни, логарифмы и прочее, и прочее. Но числа, сами по себе, мы не можем записать. У нас, попросту, нет такой возможности. НАМ ЭЛЕМЕНТАРНО НЕЧЕМ ИХ ЗАПИСАТЬ. Поэтому математики предложили всем людям мира пользоваться десятью мат. символами от "0" и до "9". Ровно столько сколько требуется для десятичной системы счисления чисел! НЕ БОЛЬШЕ и НЕ МЕНЬШЕ! Эти мат. символы имеют строгое индивидуальное написание и превосходную визуально узнаваемость. И ИХ НАЗВАЛИ ЦИФРАМИ! Задача первоклашки состоит в том, чтобы записать их в свою тетрадь, многократно потренироваться в их написании и визуально, крепко-накрепко, запомнить их. После этого бережно уложить их в свою память, то есть обеспечить им "пожизненное проживание" в своей памяти. Всякий раз, когда малыш захочет записать ЧИСЛО, он обратится к своей памяти, чтобы найти нужную ЦИФРУ. Представит себе какое она имеет начертание и запишет ее, в составе нужного ему ЧИСЛА, не меняя внешнего вида этой ЦИФРЫ, - при этом.
Все так, но в чем же проявляется материальность постулата №1?!
Ребенок молча записал на доске мат. символ "7" и опустил руку с мелком вниз. Символ "7" - обрел материальный вид в виде следа от мела на доске или чернил в тетраде. Теперь, символ "7" уже обрел материальную оформленность и может существовать помимо нашей воли, до тех пор, пока мы не пожелаем стереть его мокрой тряпкой. В этих условиях МЫ ОБЯЗАНЫ СЧИТАТЬ СИМВОЛ "7" - ВСЕГДА, ТОЛЬКО ЧИСЛОМ "7" !!!
Но сможет ли школьник написать на доске ЦИФРУ "7", ведь все цифры ""находятся" в его памяти ? И они, в таком состоянии - НЕ МАТЕРИАЛЬНЫ!
Может! Если он, предварительно, громко произнесет реплику: " Запишем ЦИФРУ "7" и или запишет эту реплику на доске или в своей тетрадке.
Все очень просто: Озвучил реплику или записал ее, - мат. символ "7" считается ЦИФРОЙ "7". А если не озвучил и не записал, - то это уже ЧИСЛО "7" !!! Термин "цифра" очень часто используется при анализе различных исследуемых чисел.
Скажем иначе: Школьная доска или тетрадка - это некое рабочее поле, предназначенное для "работы" с ЧИСЛАМИ. Место "хранения" ЦИФР - это память ученика и справочник. Поэтому, мат. символ, записанный на рабочем поле чисел, то есть на доске или в тетради, ПО УМОЛЧАНИЮ - ВСЕГДА ЧИСЛО!!!
Постулат №2.
Предполагает численное СООТВЕТСТВИЕ числа и цифры.
Цифра - это, по своей сути, некая графическая картинка, рисуемая с помощью уголков.
Число - это, по своей сути, некое количественное содержание, которое оценивается самой мелкой или элементарной ее составляющей.
Например: Цифра "5" - это граф. картинка, которая рисуется с помощью пяти простейших или элементарных уголков. Или: цифра "5"=5 эл. уголков = 1+1+1+1+1 (эл. уголков).
Число "5" - это обобщенная запись, под которой подразумевается совокупность простейших или элементарных чисел. Или: число"5" = 5 эл. чисел = 1+1+1+1+1 (эл. чисел).
Постулат №3.
Предполагает ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ числа и цифры.
И число и цифра опираются на одну и ту же базовую основу, как в численном значении, так и графическом построении. ( Число "5" и цифра "5" - записываются совершенно одинаково). Поэтому:
Число "5" ( равное сумме пяти эл. чисел) = ЭКВИВАЛЕНТНО = цифре "5" . (равное сумме пяти эл. уголков ).
Исходя из вышесказанного, можем заключить следующее: анализируя некое число, мы можем опираться на графическое построение, которое соответствует этому числу, - цифре и наоборот !
Постулат №4.
ЦИФРА - вечная, неделимая и ее начертание запрещено менять кому - либо ! (иначе мы не сможем распознать число, записанное с помощью этих самых цифр).
ЧИСЛО - в этом отношении, достаточно подвижное и гибкое образование.
Числа, в зависимости от обстоятельств, могут трансформироваться в другие числа и менять свое содержание, но ЦИФРЫ в составе этих чисел НЕ МЕНЯЮТ СВОЕГО НАЧЕРТАНИЯ - НИКОГДА.
ВЫВОД: Записывая ЧИСЛО нужными ЦИФРАМИ, необходимо делать это весьма аккуратно, соблюдая соразмерность и дистанцию между ЦИФРАМИ. Не следует излишне их "скучивать" или слишком увеличивать дистанцию между ЦИФРАМИ. Если, хоть одна ЦИФРА утратит свою узнаваемость, утратит значение и все ЧИСЛО, в состав которого входит такая "бракованная" ЦИФРА. Работать с таким ЧИСЛОМ - уже, в дальнейшем, не представляется возможным !
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.
Дорогой мой юный читатель! Если ты прочел все то, о чем я написал выше, прошу тебя отнестись к этому спокойно и по - философски. У взрослых людей возникает желание, иногда, порезвиться самую малость. Вот они и придумали себе способ, как сделать это,- соорудив свою "песочницу". Они возводят всякие логические сложные конструкции, придумывают символы, термины, положения и уложения. Затем с упоением и с головой погружаются в диспуты, споры и нравоучения. Неясен мотив, которым руководствуются люди, когда они делают такие странные вещи. Может это случается от скуки или, вдруг, просыпается тайное желание повыпендриваться немного - сие неведомо мне. Знаю только одно: тебя это не должно касаться...почти!
В своей длинной и замечательной жизни, ты будешь иметь удовольствие долго и плодотворно общаться только с ЧИСЛАМИ. Ну а с ЦИФРАМИ ты столкнешься только тогда, когда твой неразборчивый почерк не позволит тебе, однажды, распознать ЧИСЛО, записанное тобою. Тогда ты и почувствуешь разницу между ЧИСЛОМ и ЦИФРОЙ сам, без всякой посторонней подсказки. Расти и развивайся и, конечно же, - береги свой хороший почерк. Удачи тебе!!!
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Почему я так долго и настойчиво городил этот огород? Смею утверждать, что я пытался очертить доказательную базу математики.( арифметики).
В связи с этим, уместно будет вспомнить видеоролик из интернета, где заокеанская "педагогша" предлагала своему ученику, начального класса, решить такой пример:
2+2=?
Подросток, недолго думая, выполняет такое действо:
2+2=22;
Педагогша возражает и предлагает свое решение:
2+2=4;
Подросток настаивает на своем,- "22"! Но педагогша упряма и снова повторяет свои слова: " Нет, это - "4"". Их диалог набирает обороты: Школьник продолжает упрямиться -"22", на что получает, в ответ, очередной "подзатыльник" : " Нет, это число-"4". Обиженный подросток убегает. Занавес опускается!
Видеоролик подается под известным всем соусом: " Какие они все там,- тупые"
Давайте проясним ситуацию с решением этого примера!
Итак: Заокеанская педагогша не обозначила, формат задачи. Эта задачка-логического характера или математического? Не ясно.
Школьник решает задачку, считая ее логической. Тогда его действия совершенно оправданы: " 2 + 2= он удаляет знак сложения "+", стоящий между числами и сдвигает две двойки поближе друг к другу. Получает число: "22"; Все!!
Педагогша решает эту же задачку способом математического характера,- совершенно правильно, но, при этом, не пытается опереться на доказательную базу, а вступает в затяжные и неконструктивные прения со своим учеником. Поступок такого характера не украшает детского педагога и не прибавляет ему авторитета.
Докажем, что: "2+2=4"; Можем это сделать 1 - вым способом:
Число "2"- эквивалентно цифре "2", и записываются они абсолютно одинаково, а число "4" - эквивалентно цифре "4" и имеет с ней одинаковое написание.
Далее, цифра "2" - записывается двумя "уголками". Значит получим:
2+2=2 уголка + 2 уголка = 4 уголка. Из ряда цифр "уголкового" стиля, находим цифру, записанную четырьмя уголками. ЭТО ЦИФРА "4". Опираясь на эквивалентность соответствующих цифр и чисел, можно утверждать, что:2+2=4;
Можно еще проще это сделать, 2- рым способом:
2=1+1; и 2=1+1; Тогда 2+2=1+1+1+1;
С другой стороны 4=1+1+1+1; Поскольку 1+1+1+1=1+1+1+1; Тогда 2+2=4; Все.
Почему заокеанская мамзель не захотела предложить вниманию своего ученика элементарнейшее математическое доказательство арифметического примера, и,тем самым, еще значительнее упрочить свою репутацию педагога в глазах последнего, - мне совершенно непонятно! Мне искренне хочется понять такое удивительное положение вещей, но я совершенно не ведаю, какие такие "тараканы" могут резвиться в голове этой заокеанской "педагогши".
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
Моя доказательная база и размышления на тему цифр и чисел строятся с учетом десятичной позиционной системы счисления чисел. В следующий раз хочу предложить, моему читателю, наглядно "построить" числа из кубиков в этой и, например, шестеричной позиционной системе счисления чисел и сравнить полученные результаты. Тогда плотно и поговорим о ПОЗИЦИОННОСТИ систем счисления чисел. Надеюсь, будет достаточно интересно. Судить Вам.
Благодарю моего читателя, за проявленное им внимание и терпение!
А. Андреев. 19.12.2023 год. ( 00:44 мск. времени ).