Решим сегодня следующую задачу:
Сколько существует четырёхзначных чётных чисел, у которых хотя бы одна цифра повторилась?
Эта задача была в демонстрационном варианте вступительного экзамена в Университетскую гимназию МГУ, поэтому на картинке сверху красуется один из корпусов этой гимназии. Решим эту задачу.
Самое маленькие четырёхзначное число - это число 1000, самое большое - число 9999. Значит, всего 9999 - 1000 + 1 = 9000 четырёхзначных чисел. Из них ровно половина, то есть 9000 : 2 = 4500 являются чётными, поскольку чётные числа чередуются с нечётными. Проще искать числа, у которых все цифры различных. В остальных повторяется хотя бы одна цифра. Тогда будем искать количество четырёхзначных чётных чисел, у которых все цифры различных. Когда мы его найдём, то просто вычтем его из 4500 и получим, что требуется. Рассмотрим два случая:
- На конце чётного четырёхзначного числа находится 0. Тогда на первое в место можно поставить любое из 9 оставшихся цифр. На второе - любое из 8 оставшихся. На третье - любое из 7 оставшихся. Тогда общее количество таких чисел: 9*8*7*1 = 504.
- На конце чётного четырёхзначного числа находится 2, 4, 6 или 8. Тогда на первое в место можно поставить любое из 8 оставшихся цифр (нельзя поставить нуль в начало числа). На второе - любое из 8 оставшихся (включая нуль). На третье - любое из 7 оставшихся. Тогда общее количество таких чисел: 8*8*7*4 = 1792.
Итак, общее количество чётных четырёхзначных чисел, у которых все цифры различны, равно 504 + 1792 = 2296. Значит, количество чётных четырёхзначных чисел, у которых есть хотя бы две повторяющиеся цифры, равно 4500 - 2296 = 2204. И это ответ.
Вот такие задачи дают на вступительном экзамене в гимназию МГУ. Если вам требуется подготовка к вступительным экзаменам в эту гимназию, обращайтесь ко мне. Я являюсь репетитором по математике и физике, у меня большой опыт в этом деле, занимаюсь такого рода подготовкой с момента образовании самой гимназии. Многие мои ученики из разных регионов страны успешно сдали вступительные экзамены и поступили в это замечательное учебное заведение. Мои контакты вы найдёте на сайте https://yourtutor.info/.