Задача, которую мы сегодня обсудим, взята из домашнего задания, которое задали одному моему ученику на курсах Малого мехмата МГУ, где он учится. Задача не из простых, поэтому посчитал нужным выложить здесь её решение. Вдруг, кому-то ещё понадобится.
Через точку M - точку пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны AB и AC соответственно в точках K и L и продолжение BC в точке P (C между P и B). Докажите, что 1/MK = 1/ML + 1/MP.
Изобразим ситуацию на рисунке:
Ввели следующие обозначения: T - середина BC, BT = TC = a, CP = b, ML = c. Будем доказывать, что 1/MK - 1/ML - 1/MP = 0. Для этого выразим MK, ML и MP через a, b и c.
Из теоремы Менелая для треугольника ABT и секущей KM получаем: AK/KB*(2a+b)/(a+b)*TM/AM = 1, но TM/AM = 1/2 (т.к. M - точка пересечения медиан треугольника ABC). Тогда AK/KB = (2a+2b)/(2a+b) или KB/AK = (2a+b)/(2a+2b). Прибавим по 1 к обеим частям полученного равенства, тогда KB/AK + 1 = (KB + AK)/AK = AB/AK = (2a+b)/(2a+2b) + 1 = (4a+3b)/(2a+2b). Из теоремы Менелая для треугольника BPK и секущей AT получаем: a/(a+b)*MP/KM*AK/AB = 1. Тогда MP/KM = (a+b)/a * AB/AK = (a+b)/a * (4a+3b)/(2a+2b) = (4a+3b)/(2a). Обозначим это равенство (*).
Из теоремы Менелая для треугольника MTP и секущей LC получаем, что a/b*PL/c*MA/AT = 1, но MA/AT = 2/3 (т.к. M - точка пересечения медиан треугольника ABC), поэтому PL = 3/2*b/a*c. Тогда MP = ML + PL = c + 3/2*b/a*c = с (1 + 3/2*b/a) = c*(2a+3b)/(2a). Подставляем данный результат в равенство (*) и получаем: c*(2a+3b)/(2a)/KM = (4a+3b)/(2a), откуда KM = c*(2a+3b)/(4a+3b).
Итак, проверяем равенство 1/MK - 1/ML - 1/MP = 0: 1/c*(4a+3b)/(2a+3b) - 1/c - 1/c*2a/(2a+3b) = 1/c*((4a+3b)/(2a+3b) - 1 - 2a/(2a+3b)) = 1/c*((4a+3b-2a-3b-2a)/(2a+3b)) = 0. Что и требовалось доказать.
Вот такие задачи дают для самостоятельного решения на Малом мехмате МГУ. Если у вас есть более простое и изящное решение, пишите его в комментариях. Если же вам или вашему ребёнку требуется индивидуальная помощь и сопровождение в процессе изучения математики, в том числе при обучении на курсах Малого мехмата МГУ, обращайтесь ко мне. Я являюсь репетитором по математике и физике. Мои контакты вы найдёте на сайте https://yourtutor.info/.