WolframAlpha: унарные операции над нечёткими отношениями

В материале

представлены операции над нечеткими отношениями, причем унарные, т.е. действующие на одно нечёткое отношение.

Рассмотрим, как реализовать эти операции с использованием вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha.

Замечание: если кому-то придёт в голову, как реализовать бинарные операции над бинарными нечеткими отношениями, формальное определение которых показано в [https://dzen.ru/a/Y7gGF96P5yobl9Qe?share_to=link], сообщите в виде комментария под этим материалом.

Для этого рассмотрим бинарное нечеткое отношение R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.55), ((1, 3), 0.45), ((2, 1), 0.95), ((2, 2), 0.35), ((2, 3), 0.55), ((3, 1), 0.45), ((3, 2), 0.65), ((3, 3), 0.85)}, заданные на декартовом квадрате множества X = {1, 2, 3}, записанное перечислением элементов.

Зададим его в Wolfram|Alpha по ссылке: https://www.wolframalpha.com/, внеся в командную строку следующую команду:

{{1, 0.55, 0.45}, {0.95, 0.35, 0.55}, {0.45, 0.65, 0.85}}

Тогда получим результат в виде матрицы этого бинарного нечёткого отношения, показанный на картинке:

Определим для бинарного нечёткого отношения R все указанные в лекции [https://dzen.ru/a/Y3xhNrdgGSSqTBXS?share_to=link] унарные операции (дополнение; умножение на число, равное 0.5; операцию концентрирование (возведение в степень, равную 2); операцию растяжения (возведение в степень, равную 0.5)).

Унарная операция "Дополнение".

Для этого введём в вопросно-ответной системе Wolfram|Alpha матрицу, состоящую из единиц, имеющую ту же размерность, что и бинарное нечёткое отношение R: {{1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}}.

Тогда в вопросно-ответную систему Wolfram|Alpha внесём команду:

{{1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}} - {{1, 0.55, 0.45}, {0.95, 0.35, 0.55}, {0.45, 0.65, 0.85}}

Результат операции дополнения бинарного нечеткого отношения R

Унарная операция "Умножение на число".

Например, рассмотрим умножение на числа, равные 0,5 и 0,95, для этого внесём в вопросно-ответную систему Wolfram|Alpha последовательно следующие команды (обратите внимание, что вводить десятичное число надо через точку, а не через запятую):

{{1, 0.55, 0.45}, {0.95, 0.35, 0.55}, {0.45, 0.65, 0.85}} *0.5

{{1, 0.55, 0.45}, {0.95, 0.35, 0.55}, {0.45, 0.65, 0.85}} *0.95

Результат умножения на число, равное 0,5

Результат умножения на число, равное 0,95

Унарная операция "Возведение в степень".

Например, рассмотрим возведение в степень, равную 2 (операция концентрирования) и 0,5 (операция растяжения), для этого внесём в вопросно-ответную систему Wolfram|Alpha последовательно следующие команды (обратите внимание, что вводить десятичное число надо через точку, а не через запятую, при этом на каждую строку матрицы бинарного нечёткого отношения отдельно необходимо указывать рассчитываемую степень):

{{1, 0.55, 0.45}^2, {0.95, 0.35, 0.55}^2, {0.45, 0.65, 0.85}^2}

{{1, 0.55, 0.45}^0.5, {0.95, 0.35, 0.55}^0.5, {0.45, 0.65, 0.85}^0.5}

Результат возведения в степень, равную 2

Результат возведения в степень, равную 0,5

В качестве Упражнения 1 рассмотрите следующие бинарные нечёткие отношения R, заданные на декартовом квадрате множества X = {1, 2, 3}, записанные перечислением элементов, и определите для R все указанные в лекции унарные операции (дополнение; умножение на число, равное 0.5; операцию концентрирование (возведение в степень, равную 2); операцию растяжения (возведение в степень, равную 0.5)):

1. R = {((1, 1), 0.99), ((1, 2), 0.98), ((1, 3), 0.97), ((2, 1), 0.96), ((2, 2), 0.95), ((2, 3), 0.94), ((3, 1), 0.93), ((3, 2), 0.92), ((3, 3), 0.91)};
2. R = {((1, 1), 0.99), ((1, 2), 0.98), ((1, 3), 0.97), ((2, 1), 0.96), ((2, 2), 0.95), ((2, 3), 0.95), ((3, 1), 0.96), ((3, 2), 0.97), ((3, 3), 0.98)};
3. R = {((1, 1), 0.9), ((1, 2), 0.8), ((1, 3), 0.7), ((2, 1), 0.6), ((2, 2), 0.5), ((2, 3), 0.9), ((3, 1), 0.3), ((3, 2), 0.9), ((3, 3), 0.1)};
4. R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.9), ((1, 3), 0.8), ((2, 1), 0.7), ((2, 2), 0.6), ((2, 3), 0.6), ((3, 1), 0.7), ((3, 2), 0.8), ((3, 3), 0.9)};
5. R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.9), ((1, 3), 0.3), ((2, 1), 0.4), ((2, 2), 0.6), ((2, 3), 0.5), ((3, 1), 0.7), ((3, 2), 0.8), ((3, 3), 0.2)};
6. R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.8), ((2, 1), 0.7), ((2, 2), 0.5), ((2, 3), 0.5), ((3, 1), 0.4), ((3, 2), 0.8), ((3, 3), 0.2)};
7. R = {((1, 1), 0.1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.2), ((2, 1), 0.7), ((2, 2), 0.7), ((2, 3), 0.4), ((3, 1), 0.4), ((3, 2), 0.8), ((3, 3), 0.8)};
8. R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.9), ((1, 3), 0.8), ((2, 1), 0.7), ((2, 2), 0.6), ((2, 3), 0.5), ((3, 1), 0.4), ((3, 2), 0.3), ((3, 3), 0.2)};
9. R = {((1, 1), 0.1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.3), ((2, 1), 0.4), ((2, 2), 0.5), ((2, 3), 0.6), ((3, 1), 0.7), ((3, 2), 0.8), ((3, 3), 0.9)};
10. R = {((1, 1), 0.1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.3), ((2, 1), 0.4), ((2, 2), 0.5), ((2, 3), 0.5), ((3, 1), 0.5), ((3, 2), 0.8), ((3, 3), 0.9)};
11. R = {((1, 1), 0.1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.2), ((2, 1), 0.2), ((2, 2), 0.5), ((2, 3), 0.6), ((3, 1), 0.7), ((3, 2), 0.7), ((3, 3), 0.7)};
12. R = {((1, 1), 0.11), ((1, 2), 0.21), ((1, 3), 0.31), ((2, 1), 0.41), ((2, 2), 0.51), ((2, 3), 0.61), ((3, 1), 0.71), ((3, 2), 0.81), ((3, 3), 0.91)};
13. R = {((1, 1), 0.1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.3), ((2, 1), 0.2), ((2, 2), 0.1), ((2, 3), 0.2), ((3, 1), 0.3), ((3, 2), 0.2), ((3, 3), 0.1)};
14. R = {((1, 1), 0.1), ((1, 2), 0.2), ((1, 3), 0.3), ((2, 1), 0.4), ((2, 2), 0.5), ((2, 3), 0.4), ((3, 1), 0.3), ((3, 2), 0.2), ((3, 3), 0.1)};
15. R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.95), ((1, 3), 0.85), ((2, 1), 0.75), ((2, 2), 0.65), ((2, 3), 0.55), ((3, 1), 0.45), ((3, 2), 0.35), ((3, 3), 0.25)};
16. R = {((1, 1), 0.95), ((1, 2), 0.95), ((1, 3), 0.95), ((2, 1), 0.95), ((2, 2), 0.95), ((2, 3), 0.95), ((3, 1), 0.95), ((3, 2), 0.95), ((3, 3), 0.95)};
17. R = {((1, 1), 0.59), ((1, 2), 0.58), ((1, 3), 0.57), ((2, 1), 0.56), ((2, 2), 0.55), ((2, 3), 0.55), ((3, 1), 0.56), ((3, 2), 0.57), ((3, 3), 0.58)};
18. R = {((1, 1), 0.95), ((1, 2), 0.85), ((1, 3), 0.75), ((2, 1), 0.65), ((2, 2), 0.55), ((2, 3), 0.95), ((3, 1), 0.35), ((3, 2), 0.95), ((3, 3), 0.1)};
19. R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.95), ((1, 3), 0.85), ((2, 1), 0.75), ((2, 2), 0.65), ((2, 3), 0.65), ((3, 1), 0.75), ((3, 2), 0.85), ((3, 3), 0.95)};
20. R = {((1, 1), 1), ((1, 2), 0.95), ((1, 3), 0.35), ((2, 1), 0.45), ((2, 2), 0.65), ((2, 3), 0.55), ((3, 1), 0.75), ((3, 2), 0.85), ((3, 3), 0.25)}.

Упражнение 2:

Варианты бинарных отношений для Упражнения 2 (часть 1)

Варианты бинарных отношений для Упражнения 2 (часть 2)

Варианты бинарных отношений для Упражнения 2 (часть 3)

Варианты бинарных отношений для Упражнения 2 (часть 4)

В качестве подсказки приведём команду, которая используется для задания матрицы варианта 20 бинарного нечёткого отношения R Упражнения 2:

{{0, 0, 0.55, 0, 0, 1}, {0, 0, 0, 0.55, 0, 1}, {0.75, 0, 0, 0, 0.95, 0}, {0.75, 0, 0.75, 0.55, 0.95, 0}, {0, 0, 0, 0.95, 0, 0}, {0, 1, 0, 0, 0, 0}}

Бинарное нечеткое отношение R варианта 20 Упражнения 2

Также приведём соответствующую матрицу, состоящую из единиц, чтобы рассчитывать дополнение:

{{1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1}}