05. Грамматика чисел

В повседневной жизни люди используют арифметику так часто, что даже не задумываются об этом. Когда домашняя хозяйка покупает что-нибудь и подсчитывает сдачу у кассы, она пользуется понятиями сложения и равенства, которые возникли, когда люди стали торговать.

В современных магазинах самообслуживания кассовые аппараты подсчитывают стоимость покупок, печатают контрольный чек, а некоторые из них автоматически сдают сдачу.

Основные правила арифметики
Четыре основных арифметических действия-сложение, вычитание, умножение и деление. Они подчиняются определенным законам, большинство которых не выходит за рамки обычного здравого смысла. Перестановочный закон, справедливый для сложения и умножения, утверждает, что, например, сумма (7 + 2) равна сумме (2 + 7), т.е. сумма не зависит от порядка слагаемых. Аналогично для умножения: 4 x 3 = 3 x 4, или в общем случае a х b = b х a.

Сложение подчиняется сочетательному закону, т. е. результат нескольких операций сложения не зависит от порядка, в котором они производятся. На рисунках показано взвешивание на пружинных весах трех предметов: сначала (А) они ставятся на чашу весов в порядке возрастания массы (Э, 4 и 5), а затем (Б)-б другом порядке (4, 5 и 3). Общая масса в обоих случаях оказывается одинаковой (12).

Сочетательный закон есть более общая форма перестановочного. Он гласит, что при сложении или умножении нескольких чисел результат не зависит от порядка слагаемых или сомножителей. В общем виде это можно записать так:
(a + b) + c = a + (b + c) или (a х b) х c = a х (b х c).

Распределительный закон утверждает, что если сложить два числа и сумму умножить на третье число, то получится тот же результат, как если бы мы сначала умножили каждое из двух первых чисел на третье, а затем сложили полученные произведения. Этот закон легче понять, записав его в общем виде: (a + b) х c = (a х c) + (b х c), например (5 + 7) х 3 = (5 х 3) + (7 х 3) = 36.

Умножение эквивалентно многократно повторенному сложению. Например, (7 х 5) - сокращенная запись сложения (7 + 7 + 7 + 7 + 7). Таблица умножения нужна нам потому, что пользоваться ею быстрее, чем суммировать столбцы цифр. Электронные вычислительные машины и микрокалькуляторы, обладающие высокими быстродействием и точностью, не производят умножения - они необычайно быстро многократно повторяют операцию сложения.

Каждому из нас приходится решать задачи на умножение и деление. Если требуется выложить квадратными плитками (со стороной 0,5 м) две стены комнаты (А), имеющей длину 5,5 м, ширину 3 м и высоту 4 м, то можно поступить двумя способами. Стены можно изобразить (Б) в виде прямоугольников площадью 22 и 12 м2. Вместе это составит 34 м2. Площадь плитки 0.5 м х 0,5 м = 0,25 м2. Разделив (В) площадь стен (34 м2) на площадь одной плитки (0,25 м2), мы узнаем, сколько плиток пойдет на облицовку двух стен: 136. Можно поступить иначе (Г). Плитками требуется покрыть площадь 8,5 м х 4 м. Вдоль длинной стороны (8,5 м) прямоугольника укладывается 17 плиток, вдоль короткой (4 м) - 8 плиток. Итого: 17 х 8 = 136 плиток, т. е. результат тот же, но вычислять площадь стен во второй раз не понадобилось.

Вычитание-операция, обратная сложению, а деление, операцию, обратную умножению, можно рассматривать как многократно повторенное вычитание. Именно так, по существу, выполняется «деление углом», при этом, вычитая одно число из другого, иногда невозможно получить нуль: обычно «что-нибудь» остается. Это «что-нибудь» называется остатком. Например, при делении 380 на 70 получается 5 и 30 в остатке.

Квадраты и квадратные корни
При возведении числа в квадрат оно умножается само на себя (площадь квадрата равна длине его стороны, умноженной на себя): число 3 в квадрате равно 9. Операция, обратная возведению в квадрат, называется извлечением квадратного корня: какое число при умножении на себя даст заданное число? При возведении в квадрат целого числа результат также оказывается целым. Но квадратный корень из целого числа не обязательно целое число. Пифагор и его последователи установили, что не всякое число, квадрат которого равен целому числу, является рациональным (представленным в виде отношения двух целых чисел). Квадратный корень из 4 равен 2 (оба числа целые), но квадратный корень из 2 заключен между 1.4142 и 1,4143, т.е. не представим в виде рационального числа и называется иррациональным числом.

Дроби, пропорции и отношения
Три седьмых мы записываем в виде 3/7, что означает 3, деленное на 7, и называется дробью. Число под чертой-знаменатель; он показывает, на сколько частей «разбита» единица. Число над чертой-числитель; он показывает, сколько таких частей взято. Если две рейки имеют в длину 3 и 7 м, то их длины относятся как 3 : 7, т.е. короткая рейка составляет 3/7 от длинной.

Существуют два типа дробей: правильные и неправильные. У правильных дробей числитель меньше знаменателя 3/7, 7/8, 29/54; У неправильных - числитель больше знаменателя 5/4, 22/7. Обычно их упрощают, деля числитель на знаменатель и записывая остаток в виде правильной дроби 5/4 = 1_1/4, 22/7 = 3_1/7.

Деление величин на равные части приводит к дробям. Спортсмен. прыгающий с шестом, при разбеге интуитивно делит расстояние на равные шаги так, чтобы правильно поставить шест относительно планки. Когда мы говорим, что бутылка пуста наполовину или прочитана треть книги, мы интуитивно делим целое на равные части. Дроби, например 3/4, - это отношение двух чисел, из которых одно называется числителем (3), а другое-знаменателем (4). Если числитель меньше знаменателя, то дробь называется правильной. У неправильной дроби числитель больше знаменателя, но ее можно представить в виде целой части и правильной дроби

Арифметические действия применимы и к дробям, но при этом необходимо знать определенные правила. Умножение дробей производится просто: числитель умножается на числитель, знаменатель-на знаменатель, а результат записывается в виде новой дроби: 2/3 х 7/11= 14/33. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь: 2/3 : 7/11 = 2/3 * 11/7 = 22/21 = 1_1/21

Чтобы умножить дроби, следует отдельно умножить числители и отдельно-знаменатели. Треть от. половины составляет '/з х х 7г = '/в (как и половина от трети).

Сложение и вычитание дробей - более сложные операции. Чтобы выполнить их, дроби нужно привести к общему знаменателю. Для простоты выбирают наименьший общий знаменатель. Затем производят сложение или вычитание числителей, результат записывают в виде дроби с наименьшим общим знаменателем и в случае необходимости упрощают.

При сложении дробей их нужно привести к общему знаменателю. Например, чтобы найти сумму дробей 1 /2, 1/3 и 1/4, их нужно выразить через двенадцатые доли единицы (наименьший общий знаменатель здесь равен 12): 6/12, 4/12 и 3/12. Их сумма равна неправильной дроби 13/12. которую можно записать как 1_1/12. Этот пример позволяет понять, почему ничто нельзя разделить на три доли 1/2, 1/3 и 1/4: сумма «долей» была бы больше целого.

Десятичные дроби - особый способ записи дробей со знаменателями, равными степеням числа 10; целую часть числа от дробной отделяет запятая. Каждую дробь можно представить в виде суммы последовательности сотых, тысячных и т.д., т.е. записать в виде десятичной дроби.

На собраниях подсчет голосов производится по поднятым рукам. Но результат подсчета, представленный в долях или процентах от общего числа присутствующих, можно выразить по-разному. Предположим, из 580 присутствовавших 348 проголосовали за какое-то предложение, а 238 — против. Тогда можно сказать: «каждые трое из пяти проголосовали за предложение», «против предложения проголосовали 40% собравшихся», «предложение одобрено большинством в 20%». Все три утверждения истинны. Доли, пропорции и отношения (нередко выражаемые в %) - всего лишь различные способы представления одной и той же информации. Но если 200 присутствовавших воздержались от голосования, то утверждение «60% проголосовавших одобрили предложение» означает, что за предложение отдали голоса лишь 228 из 580 присутствовавших на собрании, т.е. меньше половины.