Однажды некий Хакер после выполнения задания взял свое вознаграждение, выплаченное в некоторой цифровой валюте, но почему-то представленной отдельными монетами номиналом по 1 у.е. Хакер сложил их из этих монет 9 неравных столбиков и расположил их в виде магического квадрата. Заказчику (любителю математики) идея хакера пришлась по вкусу, но он посетовал на то, что ни в одном столбике число монет не было простым.
- Все зависит от Вас, если бы заплатили всего лишь на 9 у.е. больше, - заметил Хакер, - то я бы смог увеличить число монет в каждом столбике на 1, и тогда все девять чисел в магическом квадрате стали бы простыми.
Проверили, и только Заказчик хотел добавить эти девять монет к вознаграждению, как в дело вмешался Админ, который работал у Заказчика в штате. Он взял по одной монете из каждого столбика, и число в каждом из девяти столбиков также оказалось простым. И конечно 9 новых чисел по-прежнему составляли магический квадрат.
Какое вознаграждение получил Хакер за выполнение своего задания?
Решение:
Требуется построить магический квадрат третьего порядка из набора простых чисел (каждое число в наборе уникальное) pi таких, что числа pi+2 также простые.
Такие числа называют числа-близнецы (парные простые числа). Все пары чисел-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид 6×n±1, так как числа с другими вычетами по модулю 6 делятся на 2 или 3. Если учитывать также делимость на 5, то окажется, что все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид 30×n±1, 30×n+12±1 либо 30×n+18±1. В следствие теоремы Вильсона для любого целого m≥2 пара (m, m+2) является парой чисел-близнецов тогда и только тогда, когда 4×[(m-1)!+1] делится на m×(m+2). Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано.
Поиск простых числе, образующих магический квадрат, можно значительно сузить, если воспользоваться следующими соображениями:
1. Должны существовать четыре пары простых чисел, имеющих одну и ту же сумму.
2. Элемент, стоящий в центре магического квадрата (обозначим как Y), равен половине суммы каждой такой пары, то есть одной трети постоянной магического квадрата.
3. Если среди элементов квадрата нет заканчивающихся на 3 и 5, то простые числа pi должны заканчиваться цифрами 1, 7, 9.
4. Суммы цифр, стоящих в разрядах единиц элементов каждой строки, каждого столбца и диагоналей, должны иметь одинаковые последние цифры.
5. Из свойств 3) и 4) следует, что последние цифры элементов, стоящих в каждой строке, каждом столбце или на диагоналях, должны быть либо одними и теми же, либо образовывать (с точностью до поворотов и отражений) конфигурацию:
179
791
917
Среди простых чисел до 2000 имеется 61 пара простых чисел, которые отличаются на 2. Среди этих 61 пар существует 10 значений 2×Y (суммы четырех пар простых чисел, отличающихся на 2), которые удовлетворяют этим пяти требованиям, а именно: 298, 838, 1318, 1618, 1762, 2038, 2098, 2122, 2182, 2638. Среди этих значений только 298 обладает тем свойством, что сумма элементов, стоящих в верхней или нижней строке, а также в левом или правом столбце, равна 3×Y. Соответствующие магические квадраты имеют вид:
В таком варианте (когда мы ограничиваемся простыми числами до 2000) вознаграждение Хакера составляет 9×Y+9=9×(149+1)=1350 у.е.
Это решение минимальное, если не принимать во внимание определение Хангерфорда из книги «Абстрактная алгебра: введение» (раздел 1.3), а именно: «… целое число P называется простым, если P≠0, ±1 и единственные делители P есть ±1 и ±P. Вероятно, можно составить магический квадрат и из отрицательных простых чисел, и даже, вероятно, существуют отрицательные цифровые деньги, только не думаю, что Хакер взялся бы выполнять за работу за отрицательное вознаграждение.
Это решение минимальное, но не единственное. Если чисел-близнецов бесконечно много, то и решений данной задачи будет тоже бесконечно много.
Предположительно, третьим по значению ответом является вознаграждение 45090 у.е., которому соответствуют такие квадраты:
Найдите, пожалуйста, решение с ответом в интервале 1350 < Х2 < 45090.
Ответ:
Ответ, предположительно можно посмотреть в книге "Вкусная книга о маленьких и здоровых играх".