Ранее в материалах
представлены два раздела "Формулы логики. Логика высказываний" и "Теория множеств. Бинарные отношения. Функции", при этом в теории множеств существуют ряд законов, в частности, законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности для операций пересечения и объединения множеств, а при описании логических законов также приводились законы аналогичные по смыслу, но применительно к логическим операциям над высказываниями, таким как конъюнкция и дизъюнкция.
Это связано с тем, что теоретико-множественным операциям соответствуют логические операции формул логики высказываний, поэтому имеется возможность сведения исследование теоретико-множественных выражений теории множеств к изучению взаимосвязи формул логики.
Также это отчётливо было видно в материале:
когда изображается диаграмма Эйлера-Венна также предлагалась и составлялась таблица истинности.
Таким образом, Если P и Q - пропозициональные высказывания, а U — множество их логических возможностей, при этом заметим, что число логических возможностей всегда не больше числа строк таблицы истинности любого рассматриваемого высказывания (формулы логики).
Для получения множеств истинности высказываний (формул логики) P и Q необходимо учитывать, что
- унарной логической операции «отрицание» соответствует в теории множеств унарная операция «дополнение»,
- бинарной операции «логическая конъюнкция» соответствует в теории множеств бинарная операция «пересечение»,
- бинарной операции «логическая дизъюнкция» — бинарная операция «объединение»,
- бинарной операции «импликация» соответствует множество, являющееся дополнением к разности А и В,
- эквивалентности соответствует множество истинности, определяемое как показано на рис. внизу:
Также следует заметить, что для тождественно истинной формуле логики соответствует универсальное множество истинности, а для тождественно ложной — пустое множество.
Пример 1. Получение множества истинности.
Заметим, что переменных в полученной формуле три, поэтому рассмотрим универсальное множество, состоящее из 8 элементов (2 в третьей степени = 8), поэтому имеем вектор логики высказываний, состоящий из 8 элементов.
Построим таблицу истинности для формулы логики высказываний:
Полученный результирующий столбец в представленной на рисунке таблице истинности совпадает с восьмикомпонентным вектором, который соответствует формуле теории множеств, полученной ранее.
Пример 2. Доказательство теоретико-множественных отношений.
Рассмотрим пример проверки теоретико-множественных отношений
с помощью формул логики высказываний.
Для этого докажем теоретико-множественное отношение для произвольных множеств A, B, C, например, закон ассоциативности, с помощью формул логики высказываний.
Подставим в соответствие множествам A, B и С логические переменные x, у, z:
Составив таблицу истинности формул левой и правой частей полученного выражения (таблица истинности будет показана ниже).
Как видно из таблицы истинности столбец 5, соответствующий левой части доказываемого выражения, идентичен столбцу 7, соответствующему правой части доказываемого выражения.
Таким образом, делаем вывод, что заданное теоретико-множественное отношение верно.
Пример 3. Таблица значений истинности элементов булеана.
Рассмотрим ещё один пример взаимосвязи теории множеств с логикой высказываний.
Пусть имеется множество А = {2, 4, 6}, определим булеан этого множества и составим таблицу значений истинности (см. таблицу ниже) элементов булеана.
Поскольку множество А = {2, 4, 6} содержит 3 элемента, следовательно, его булеан состоит из 2 в третьей степени подмножеств, т.е. из 8 подмножеств.
В таблице укажем все 8 элементов булеана и их значения истинности, при этом в 1 столбце указаны все подмножества множества А = {2, 4, 6}, т.е. элементы булеана, со второго по четвёртый столбцы указаны значения характеристических функций подмножеств.
В качестве Упражнения определите итоговый вектор логики высказываний, соответствующий формуле, указанной в вариантах:
Для студентов предлагается выполнить тот вариант Упражнения, который совпадает с последней цифрой номера их зачетной книжки.
Обратите внимание на то, что переменных в указанных формулах три, поэтому в качестве универсального множества необходимо рассмотреть множество, состоящее из 2 в третьей степени элементов , т.е. из восьми элементов.
В следующем списке представлены соответствующие множества для проведения расчётов, при этом обратите внимание, что множество А в зависимости от варианта разное, а множества В и С – одинаковые, однако при этом в разные дни и месяцы должны получаться относительно различные комбинации, потому что в задании множеств присутствуют параметры Альфа и Бета,
при этом параметр Альфа определяет чётность числа даты написания комментария,
А параметр Бета - чётность месяца даты написания комментария,
т.е. если сегодняшняя дата 15 апреля, апрель месяц четвёртый, следовательно, параметр Альфа – равен единице, потому что 15-ое – число нечётное,
а параметр Бета – чётное, потому что четыре – число чётное, значит, должен выбираться нолик.
Пример выполнения Упражнения:
Рассмотрим для примера формулу логики высказываний и решим Упражнение:
Построим таблицу истинности для формулы логики высказываний:
Полученный результирующий столбец (1 1 0 0 0 1 0 0 ) в представленной в таблице истинности совпадает с восьмикомпонентным вектором, который был получен ранее, его и необходимо указать в комментарии (с предварительным указанием даты комментария и номера варианта).
Видео решения указанных в текущем материале примеров можно посмотреть по ссылке: