Описание, надо сказать, настолько заумное, что сразу и не уловить, что доказательство это не физическое, не геометрическое, а чисто математическое. Вот рисуночек:
Из дальнейшего описания следует, что несмотря на конкретные стрелочки, обозначенные как k, говорится тут про круговою волну Гюйгенсе-Френеля. Поскольку рассматриваются циклические частоты. А k – это, всего лишь волновое число в описании, а на рисунке это тот метр радиуса круга, на котором можно расположить n длин волн.
Таким образом, то, что на рисунке обозначено как вектор k, по модулю имеет размер в один метр. И в падающем, и в отраженном, и в преломленном состоянии. Что о скорости света в среде никоим образом не говорит. Поэтому с физической точки зрения – это ни о чем.
Далее, происходит скользкий переход от круговой волны к лучу. А просто так. Просто потому, что падает он лучом, на самом деле, и к круговой волне никак не пристегивается.
Но в формулах речь идет про круговую волну.
И волновое число в наличии, и циклическая частота.
А дальше идет еще одна наглая подтасовка:
Простите, но если длина волны в среде уменьшается, то циклическая частота никак не может остаться той же. Как и волновой вектор.
Кстати, если нарисовать проекции векторов k на ось х одинаковыми, то скорость света в среде получится больше, чем в вакууме
Далее, у нас что-то видно из рисунка
Хотя из этого рисунка никак не видно, что модулем здесь становиться именно волновое число. Это можно заметить на нашем рисунке с большей скоростью света в среде – это да. Но по классическому рисунку такого не скажешь. То есть, геометрически это невозможно изобразить. Невозможно нарисовать вектор равный по модулю 1 метр и по модулю равным волновому числу – одновременно. Ну, и нарисовать одновременно и луч и круг – проблематично.
Однако с помощью умножения на синус угла полученные цифры можно уровнять. Только это не говорит, о том, что частота ω при этом одинаковая. Она, как раз, разная. А умножать ее можно на что угодно. Хоть бы и на температуру. То есть, давайте подставим какие-нибудь цифры.
Ну, или в случае одинаковой частоты волновой вектор в вакууме и в среде не получиться равным.
Другими словами, доказательство чисто математическое. Если в случае среды сначала 2π умножить на коэффициент преломления, а потом синус угла падения разделить на него же то, в результате да, получиться равенство.
Однако, тогда длина волны не меняется.
Ну, ахинея же полная.