В прошлом письме коллега описал распространённую проблему: ученик не делает проверку своих решений и в целом боится ошибок. Там же он выдвинул тезис о том, преподаватель в таком случае ничем не может помочь.
Мне кажется, это не так.
Учителя и репетиторы обязаны помогать в том числе и в таких ситуациях.
Как именно – обсудим ниже.
Все ошибки включают в себя две составляющие: психологическую и методическую. Деление это условное, т.к. психологическая часть порой имеет некоторые сугубо методические причины, а методическая часть часто идёт в связке с психологией.
Первая составляющая чаще всего связана с отношением ученика к ошибкам. Она обычно распространяется далеко за пределы математики и учёбы в целом. Вторая связана с особенностью школьного курса математики, а также с характером его преподавания в массовой школе.
Среди причин того, что школьники боятся ошибок, можно выделить следующие:
а) Обычно дети считают, что любая найденная ошибка – это претензия лично к ним. Ученики думают, что если они ошибутся, то это значит, что их за это поругают, значит они плохие и т.д.
Потому ученики и выбирают тактику страуса: «не проверяю себя – не вижу ошибок – я хороший».
В особо запущенных случая ученик и вовсе считает, что лучше не решать задачу, чем решить с ошибкой. Вроде так ругать будут меньше. И красных чернил в тетради будет значительно меньше. Максимум посетуют, что он гуманитарий и что математика ему в принципе не даётся.
б) Ошибки влекут за собой снижение школьной оценки, поэтому автоматически воспринимаются как абсолютное зло.
А так как для большинства детей хорошая учёба = получение в школе хороших оценок, то они избегают всего, что связано с плохой оценкой. «Учиться нужно для того, чтобы получать пятёрки!». Такая зацикленность на отличных оценках вызывает огромный стресс. Ошибки и различные самопроверки не воспринимаются как неотъемлемая часть обучения.
в) Подавляющее большинство школьников (даже в старших классах) не осознают, что учёба находится полностью в их зоне ответственности. Они не понимают, что поиск ошибок и самопроверка в первую очередь их работа. Такие ученики думают, что их задача – просто решить пример, а всё остальное уже забота взрослых в лице учителя.
г) Школьники могут просто не знать, как именно себя проверять. То есть не владеют техникой. Их просто этому не научили.
Теперь перечислим, что в связи с этим могут улучшить педагоги в своей работе.
1) Ошибка как часть рабочего процесса.
Самое главное в работе преподавателя – самому относиться к ошибкам спокойно. В первую очередь это касается собственных (!) ошибок, и только во вторую очередь – ошибок учеников.
Для этого необходимо снизить уровень ожиданий от себя и от учеников.
Молодым преподавателям поначалу кажется, что можно сразу хорошо объяснить математику любому школьнику, что тот автоматически поступит на мехмат или наберёт 100 баллов.
Конечно, это не так.
Обучение зависит от многих факторов. Причём многие из них лежат за пределами непосредственно преподавания.
Как можно сетовать на то, что ученик невнимателен и совершает простейшие ошибки, если он, оказывается, ест всего лишь раз в день и на всех занятиях сидит полуголодный (реальный случай из моей школьной практики)?
Тут же можно вспомнить про страх некоторых преподавателей ошибиться перед учениками. Якобы это подорвёт их авторитет среди учеников и помешает обучению.
На самом деле, всё наоборот. Если учитель как робот никогда не совершает ошибок, то это скорее вредно для учеников. Они таким образом не видят процесс совершения ошибок, не видят техник их поиска и исправления, не видят модели здорового отношения к ним.
Да и на самом деле, разве в процессе живого математического решения не совершаются ошибки? Безошибочные уроки просто превращаются в пустое изложение уже давно решенных задач.
Адекватное отношение к ошибкам со стороны преподавателя крайне важно.
И здесь следует не просто проговаривать вслух, что «ошибки – это нормально», что «все мы ошибаемся» и т.д., как порой советуют поступать на некоторых курсах повышения квалификации. От слов преподавателей на самом деле зависит не так много. Нужно принципиально изменить свой поход к ошибкам.
В противном случает взгляд, интонация, жесты будут выдавать раздражение или досаду учителя при виде ошибки у ученика. Школьники легко это всё считывают.
Также следует избегать крайностей, которые можно объединить под общим лозунгом «ошибки – это весело!». Подобный подход иногда можно встретить в некоторых программах в младших классах. Сюда же можно отнести и такой методический приём как «дневник ошибок», который на самом деле лишь закрепляет неверные паттерны действий.
Понятно желание авторов снизить таким образом страх ошибок, но это деформирует здоровое отношение к ним как к неким обычным досадным устранимым, но всё же неприятностям.
2) Учить проверять самому.
Удивительно, как много учеников не подозревает, что в конце учебника есть ответы на большинство задач.
В общем-то, именно для самопроверки они там и прописаны – как рабочий инструмент для самостоятельной работы учеников.
Сейчас же у большинства школьников лишь два режима работы над домашним заданием: либо не проверять ответы вовсе, либо подчистую скатывать все решения с ГДЗ.
Я уже как-то рассказывал про пятиклассника, у которого было две тетради по математике с такими подписями: «для классной работы по математике» и «для ГДЗ по математике». Он принципиально не понимал, что домашняя работа подразумевает самостоятельное решение задач, а не аккуратное списывание с сайта.
Поэтому хотя бы в старших классах нужно постепенно передавать старшеклассникам руль управления.
Когда ученик спрашивает, правильно или нет решена задача, можно не говорить ответ, а попросить посмотреть в конце учебника, показывая, как можно заниматься самопроверкой.
Пусть они сами проверят ответы. На РешуЕГЭ, через Photоmath, постоят график в desmos или загрузят неподдающуюся задачу в Wolfram Alpha.
Это позволит хотя бы частично вернуть их в центр собственной учёбы и пересадить их из кресла равнодушного пассажира в кресло водителя.
3) Повторять, возвращаться и закреплять.
Лучше не исправлять ошибки, а их предотвращать. То есть стараться работать с глубинными причинами ошибок и не бояться повторять какие-то базовые разделы, если они были плохо усвоены.
Да и в принципе нужно понимать, что каждая новая тема не означает, что все ученики сходу её освоят. И даже если чему-то вроде научатся (и хорошо напишут самостоятельную или контрольную) то далеко не факт, что через месяц будут что-то помнить. Процесс обучения не линеен и скорее имеет форму спирали.
Рекомендую учителям, которые работают со старшими классами, изучить классическую методику преподавания арифметики в начальных классах. Особенно в части системы концентров.
Правильно построенное обучение само собой снижает количество ошибок.
4) Много ошибок демотивирует.
Когда у школьника слишком много ошибок, очевидно, что это его сильно демотивирует.
Рабочее соотношение ошибочных и верно решенных упражнений на технические алгоритмы составляет примерно 1 к 7. Конкретные цифры зависят от характера изучаемого материала. Но в целом понятно, что если ошибок слишком много, значит тема плохо усвоена и нужно подбирать более простые задачи.
Однако, следует избегать и другой крайности. Если совсем нет никаких ошибок и трудностей при решении (отсутствует так называемое «сопротивление задачи»), то ученик также демотивируется.
Во-первых, мозг не чувствует, что чему-то учится. Во-вторых, возникает иллюзия того, что абсолютно всё в этой теме знает. В-третьих, не возникает возможности научиться исправлять ошибки.
5) Сместить фокус на причины.
Акцентировать внимание ученика не столько на ошибках, а больше на причинах их появления. И таким образом помочь ему с их устранением.
Нужно понимать, что причины появления ошибок конкретны, а не абстрактны. Так же, как и конкретны методы работы с ними.
Например, в группе была серия постов про самую частую и трудноотлавливаемую ошибку – ошибку при переписывании условия.
Благоглупые советы вроде «будь теперь внимательнее!», «сосредоточься!», «соберись!» бесполезны, а чаще всего вредны.
Школьниками нужны конкретные приёмы, чтобы впредь не допускать такой обидной оплошности. Например, поначалу заставлять проверять правильность переписывания условия дважды (!). В первый раз, когда он только переписал условие («переписал – проверь переписанное!»). Во второй раз, когда решил проверить своё решение («начинай проверку с условия!»).
Или другой пример.
Вот решает ученик дробно-рациональное уравнение. Очень важно, почему у него неверный ответ: неправильно раскрыл скобки с минусом перед ними, неправильно посчитал дискриминант или неверно привёл подобные. Или забыл убрать лишний корень, который обращает знаменатель в ноль.
Каждый тип из этих типов ошибок требует отдельного рассмотрения. Да и в целом, желательно понимать: это системная ошибка или случайная оплошность, содержательная или техническая.
Также смещение фокуса на причины имеет и психологический эффект: ученик меньше занимается самокопанием.
Когда он знает приёмы работы с ошибкой ему некогда долго испытывать досаду. Нужно устранять ошибку.
5) Сместить фокус на исследование.
Вообще сам принцип смещения фокуса с ошибки на что-то продуктивное позволяет выстроить более эффективное обучение.
Иногда ошибка в задаче может привести к более интересной задаче.
Допустим ученик ошибся с дискриминантом и поставил не минус, а плюс перед вторым слагаемым. И при этом получил «красивый» дискриминант в виде точного квадрата.
Обычно ошибка приводит к некрасивому дискриминанту и поводу себя перепроверить. Но когда дискриминант получается ошибочным и при этом красивым, ученики не чувствуют подвоха.
После нахождения ошибки можно задаться таким вопросом: а для каких квадратных уравнений ошибка в знаке всё равно будет давать красивый ответ?
Самый известный подобный случай: x²-5x+6 = 0 и x²-5x-6 = 0. Если ошибиться в знаке, то мы получим ответ к другому уравнению.
Далее может возникнуть более общий вопрос: при каких условиях на целочисленные коэффициенты каждое из уравнений ax²+bx±c=0 будет рациональные корни.
Не факт, что выросшая из ошибки задача будет содержательной, но вот такой исследовательско-поисковый запрос хорошо помогает сместить фокус с негативных эмоций из-за ошибки на что-то более содержательное.
6) Воспитывать в ученике роль Проверяющего.
Ученики обычно не любят искать у себя ошибки. Вроде задача решена, но оказывается расслабляться рано и нужно делать какие-то дополнительные действия сверх решения. К тому же школьника могут посещать мысли: «А вдруг найду? Мне же тогда всё опять переделывать?». Да и найденная ошибка – это почти всегда удар по самолюбию.
Однако, ученики совсем не против поиска ошибок, если сама тема им понятна, а искать предлагается чужие ошибки!
Это как раз можно использовать, например для взаимного оценивания в парах.
Подобная проверка работ друг у друга нужна не столько для того, чтобы учитель сэкономил время. Наоборот, это скорее нагружает учителя, т.к. нужно ещё раз перепроверить проверенное.
Эта работа нужна больше для снятия страха перед найденной ошибкой. Ведь ученик ищет её не у себя, а у другого.
Ещё дети часто во время проверки подсказывают, как сосед мог бы быстренько её исправить. Вроде «А давай обманем учителя? Исправь у себя вот здесь, а мы сделаем вид, будто ты сразу правильно решил!»
Именно здесь фактически происходит серьёзная психологическая работа. Ученик как бы разделяется на двоих. Сначала он как Решающий решает задачу, потом даёт проверить свою работу соседу-Проверяющему. При этом, конечно, в свою очередь проверяет работу товарища.
А потом может подключится роль Исправляющего, когда ученик исправляет найденную соседом ошибку.
Тем самым ученик успевает побывать сразу в нескольких ролях. А потом все эти роли со временем соединятся в одном человеке, и ученик сможет легко между ними переключаться при самостоятельном решении задач.
Поэтому необязательно учителям стремиться, чтобы всё было абсолютно честно и ученик поставил полностью справедливую оценку соседу, не дав исправить ошибку другу.
7) Печатные листы с решениями.
Не обязательно поиск ошибок делать только у себя или у соседа.
Учитель может заранее заготовить печатные материалы, которые содержат решения различных задач по пройденным темам.
Соответственно задача ученика состоит в том, чтобы понять, есть ли ошибка в решении или нет. И если есть, то указать, где именно.
Важно, чтобы раздаточный материал был распечаткой решений, написанных от руки. Это необходимо для реалистичности решения и выработки соответствующей привычки. В печатном тексте ошибки искать не так продуктивно. Потом сложно переключится на поиск ошибок у себя.
Можно использовать как самодельные решения, так и сканы решений второй части из различных вариантов ОГЭ-ЕГЭ.
Первые хороши тем, что позволяют преподавателю самому совершать нужные ошибки, прорабатывая точечно именно их.
Вторые, во-первых, удобны тем, что ничего дополнительно готовить не нужно. Можно найти материалы в методических пабликах, на официальных сайтах и даже просто попросить у коллег. Во-вторых, это проверка настоящей работы подчёркивает весомость деятельности учеников. В-третьих, на них очень хорошо изучать различные нюансы оформления.
Кстати, полезно в этих листах давать не только решения с ошибками, но и полностью верные решения. Так ученики ещё раз увидят, как можно правильно оформлять свои рассуждения.
Также важно ставить вопрос «есть ли ошибка или нет?» отдельно от вопроса «где ошибка?». Очень часто требуется не столько найти ошибку, а принципиально понять, правильный ответ или нет. Тут идёт работа над быстрыми техниками проверки.
Если ученики теряют концентрацию, когда видят громоздкое решение с очевидной ошибкой, можно выстроить систему подсказок: ошибка в таком абзаце – ошибка в такой строке – ошибка при таком действии – вот сама ошибка.
Когда ученики отработают различные техники поиска ошибок, гораздо проще потом им будет переключиться на проверку своей работы. Поиск ошибок станет привычным делом.
8) Знать работающие приёмы.
Конечно, чтобы учить школьников различным приёмам самопроверки, нужно самому их знать. Также желательно знать различные приёмы эффективного счёта, решения уравнений, а также преобразований алгебраических выражений.
В группе пару лет назад мы уже выкладывали подборки различных техник. Их можно прочесть в каталоге статей по ссылке: https://vk.com/@partizanxyz-katalog-statei?anchor=rabota-s-oshibkami
Здесь же я хотел бы поделиться небольшим методическим фокусом, который для части учеников выглядит как чудо.
Возьмём самую простую арифметическую ошибку. Допустим ученик где-то в стороне перемножил столбиком два числа. И сделал это неверно.
Если ему сказать, что там ошибка, довольно часто он попробует её найти сразу непосредственно в примере. Далее спустя 5-7 секунд бесплодных поисков он может понять, что пример можно просто заново решить. И почти всегда это делает рядом с неверным решением, повторяя с большой вероятностью ту же ошибку.
Это вводит ученика в ступор, он начинает отрицать ошибку («да не, у меня всё-таки правильно всё подсчитано!»). Можно даже не просить его решить в третий раз. Если он напишет решение рядом, то почти наверное он и в третий раз ошибётся.
Рецепт прост – надо просто перевернуть страницу или взять другой лист и провести вычисления заново. Мозг переключится, и расчёты будут верными. Конечно, при условии, что ученик твёрдо умеет умножать столбиком и это не системная ошибка.
9) Ошибка как инструмент.
Для школьников профильных классов полезна работа с ошибками в рассуждениях, изучение пробелов в доказательствах, исследование неточных формулировок.
Всё это является важными элементами формирования математической культуры.
Можно также научить школьников поиску контрпримеров. Обычно у каждого опытного преподавателя появляется большая коллекция подобных заданий.
Конечно, для таких случаев преподаватель должен подбирать содержательные задания, а не вычислительные. Подавляющее большинство из них возникает на уроках геометрии чуть ли не с самых первых занятий.
Пример такого задания:
Кратко первый признак равенства треугольников можно сформулировать так: «Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними». Почему важно, что угол должен располагаться именно между ними? Придумать такие два неравных треугольника, у которых есть две пары равных сторон и есть равные углы.
10) Общие правила работы с ошибками.
Наконец, перечислим три главных правила работы с ошибками и различными приёмами счёта.
Во-первых, бесполезно учить искать ошибки или рассказывать про различных продвинутые техники рациональных вычислений в тех случаях, когда школьник не знает обычную правильную последовательность действий. Ученик ещё нормально не закрепил главный алгоритм, а его внимание уже распыляется на какие-то другие хитрые принципы. Помним про методическое правило – не более одной трудности за один раз.
Во-вторых, школьник должен понимать личную пользу от изучения любых продвинутых техник. Можно долго рассказывать, насколько проверка является копеечной процедурой по сравнению с возможным проигрышем от неверно решенной задачи. Но пока ученик сам пару раз не получит сниженный бал за контрольную, пока у него не будет запроса на улучшение результатов, все эти техники будут бесполезными.
Кстати, если у ученика на некоторые приёмы будет спонтанная реакция вроде «ух ты, прикольно!», это значит, что вы на правильном пути.
В-третьих, нельзя ставить цель избавиться абсолютно от всех ошибок или стремиться любые вычисления всегда делать самым эффективным способом. Количество ошибок нужно лишь пытаться сократить. Следует держать фокус на уменьшение их влияния на общий результат.
И конечно, не нужно стремиться всегда вычислять самым быстрым способом. Эффективный счёт должен выполняться учеником спонтанно, а не из-под палки.
Нет ничего страшного в том, что ученик от усталости не заметит какой-то ход и сделает вычисления не самым рациональным путём. Можно после просто показать, как можно было выполнить лучше. Или вовсе этого не делать, если вы уже в потоке задачи и такая мелочь лишь собьёт с пути.
11) Что почитать?
На данный момент лучшая книга с советами по работе с ошибками и их причинами – «Как стать внимательнее и избежать ошибок» Надежды Шиховой. Вы наверняка знаете автора по паблику «Незадача дня» (https://vk.com/problemaday)
Также дополнительно преподавателям можно прочитать книги «Где ошибка?» (В. Литцман), «Где ошибка?» (А.В. Жуков), «Ошибки в геометрических доказательствах» (Я.С. Дубнов ), «Учимся на чужих ошибках» (А.Д. Блинков).