Задача: Для углов α, β, γ треугольника выполняется равенство: sin^2 (γ) = sin^2 (α) + sin^2 (β) + sin α · sin β. Найдите угол γ. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Начертим треугольник со сторонами a, b и с, напротив которых соответственно лежат углы α, β и γ. В №15 мы доказали равенство sin^2 (γ) = sin^2 (α) + sin^2 (β) – 2 sin (α) · sin (β) · cos (γ). Приравняем правые части выражении: sin^2 (α) + sin^2 (β) – 2 sin (α) · sin (β) · cos (γ) = sin^2 (γ) = sin^2 (α) + sin^2 (β) + sin α · sin β – 2 sin (α) · sin (β) · cos (γ) = sin α · sin β cos (γ) = -1/2 По таблице значений cos 120° = -1/2 ⇒ γ = 120°. Ответ: 120°. Задача решена.
Задача: Для углов α, β, γ треугольника выполняется равенство: sin^2 (γ) = sin^2 (α) + sin^2 (β) + sin α · sin β. Найдите угол γ.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Начертим треугольник со сторонами a, b и с, напротив которых соответственно лежат углы α, β и γ.
В №15 мы доказали равенство sin^2 (γ) = sin^2 (α) + sin^2 (β) – 2 sin (α) · sin (β) · cos (γ). Приравняем правые части выражении:
sin^2 (α) + sin^2 (β) – 2 sin (α) · sin (β) · cos (γ) = sin^2 (γ) = sin^2 (α) + sin^2 (β) + sin α · sin β
– 2 sin (α) · sin (β) · cos (γ) = sin α · sin β
cos (γ) = -1/2
По таблице значений cos 120° = -1/2 ⇒ γ = 120°.
Ответ: 120°.
Задача решена.