Решать квадратное уравнение, строить график квадратичной функции (параболу то есть) и решать квадратичные неравенства многие школьники умеют - потому что им выдали алгоритмы для этого, шаблоны, по которым они автоматически действуют. Для квадратного уравнения - явная формула через дискриминант, в которую достаточно просто подставить числа (другое дело, что даже с этим есть проблемы). Для построения параболы - есть заученная формула для вершины (особо "талантливые" в плане памяти ребята не только абсциссу помнят а ещё и ординату), ветви вверх-вниз по знаку, пару симметричных точек берут тоже на автомате (а если вершина в (0;0), то проблемы с выбором у каждого второго). Для неравенства - вообще не задумываясь, решают уравнение, на множители раскладывают автоматически (теряя старший коэффициент, а ведь если у него знак не тот, то это важно).
И хоть бы кто понимал, что это всё - побочные продукты одного и того же исследования квадратного трёхчлена, а не три независимых темы!
Нет, кто-то, конечно, понимает: одним сказали об этом в школе, а другие сами догадались и потом выяснили у кого-то понимающего - но в программе школы эта связь не подчёркивается и не обсуждается. а у тех редких учителей, кто всё же пытается демонстрировать логические связи, большинство учеников эти самые связи не берёт. Им не интересно, потому что на экзамене этого не будет. Для того, чтобы решать задачи, достаточно знать шаблон, и неважно откуда и почему он такой - будешь задумываться, потратишь время и рискуешь не дать верный ответ, а это критически важно.
Давайте начистоту: какой процент выпускников, автоматически решающих по формуле "через дискриминант" квадратные уравнения, знает вывод этой формулы? Вот я ставлю на 1% и меньше. Большинство искренне говорит мне, что этот самый вывод им не нужен - главное, что применять умеют. Учителя, к сожалению, придерживаются такого же мнения. Наверняка, мои любимые комментаторы, по мнению которых дети, уверенно подставляющие числа в формулу, взявшуюся невесть откуда, обладают знаниями по математике, будут из числа сторонников "главное, что применять умеют".
Но умеют ли? Сколько детей в уравнении выше сочтут, что для формулы b=7? Сколько забудут поделить на 2а в знаменателе, ведь привычка делить пополам намного сильнее здравого смысла? Это я ещё не спрашиваю, что будет, когда у них старший коэффициент получится отрицательным...
Хорошо, допустим, что гипотетический ребёнок продрался через все препоны и получил корни этого уравнения. Пусть он даже правильно разложил это выражение на множители:
А теперь хвалим его и выдаём следующее задание: построить график функции:
Что будет делать большинство? Правильно, посчитает абсциссу вершины, найдёт значение в ней (либо и ординату посчитает по безумной формуле), а потом вспомнит про нули и... Правильно, начнёт решать квадратное уравнение из предыдущей задачи. Да, многие через какое-то время заметят, что вообще-то уже решали именно это уравнение только что - но не сразу, а тем позже, чем качественнее была дрессировка на последовательность действий. Думалка у них не включается, пока по проторённой дорожке можно пройти. Некоторые могут на ясном глазу решить уравнение заново и так и не заметить, что оно уже было решено.
Но ладно, нули нашлись, ветви по знаку старшего коэффициента определили, график построили, получилась правдоподобная такая парабола... Похвалили ребёнка и даём третью задачу...
А реши-ка нам, дорогой, вот такое неравенство. И что, какой процент "знающих математику" (якобы) выпускников скажет, что надо на построенной параболе посмотреть, где она положительна (а ещё лучше сразу из исследования перед построением их переписать)? Процентов 10? Примерно половина хотя бы ещё догадается взять нули и на множители разложить прежде, чем запускать шаблон с перебором либо (даже в 11 классе - далеко не у всех) метод интервалов - а ведь другая половина третий раз то же самое уравнение решать пойдёт, чтобы на множители разложить...
С методом интервалов, кстати, тоже забавно: почему-то одиннадцатиклассник для квадратичного норовит ввернуть старый шаблон, а не стрелять более мощным и удобным методом, хотя, казалось бы, там же тоже думать не надо - но вот укоренился в голове старый метод - и всё тут! Видимо, мудрость старого программиста "работает - не трогай".
Это всё про одно и то же!
Но в школе либо не рассказали (увы, часто именно так), либо не заставили понять и усвоить связи (тут уже больше вины школьника всё-таки, ибо у учителя недостаточно инструментов для принуждения). И на выходе будущий выпускник вроде бы неплохо решает каждый отдельный тип задач, получает неплохие баллы на экзамене, но о каких знаниях можно говорить, если он не может связать между собой настолько близкие вещи?