Решаю 20 задание демонстрационного варианта ОГЭ по математике

Задание 20 оценивается в 2 балла. В нём просят преобразовать алгебраические выражения, решить уравнения, неравенства или их системы.

Для этого есть разные способы.

Сегодня решим уравнение х⁴=(4х-5)², воспользовавшись формулой сокращённого умножения.

Преобразуем уравнение х⁴=(4х-5)² в такой вид

х⁴- (4х-5)²=0. Для этого вычтем из левой части правую и приравняем всё к нулю.

Запишем х⁴ как (х²)². Это нужно для того, чтобы представить левую часть уравнения в виде разности квадратов двух выражений (х²)²-(4х-5)², а потом воспользоваться формулой. Наше уравнение преобразовалось в такое (х²)²-(4х-5)²=0.

Распишем левую часть уравнения (х²)²-(4х-5)² по формуле разности квадратов

Роль а играет х², а b представляет собой выражение 4х-5.

и раскроем скобки, учитывая правила знаков: (х²)²-(4х-5)²=

(х²-(4х-5))(х²+(4х-5))=(х²-4х+5)(х²+4х-5).

Наше уравнение теперь имеет вид (х²-4х+5)(х²+4х-5)=0. Его и будем решать. Для этого надо знать правило.

Произведение двух выражений равно нулю, если одно из них равно нулю.

В нашем случае или х²-4х+5=0, или х²+4х-5=0. Решаем два уравнения по отдельности. Они квадратные и проще всего решить их через дискриминант. Вот нужные нам формулы👇

D - дискриминант

Решаем первое уравнение:

х²-4х+5=0

D=(-4)²-4•1•5=-4

Как видим D<0, значит делаем вывод: в первом уравнении корней нет.

Решаем второе уравнение:

х²+4х-5=0

D=4²-4•1•(-5)=16+20=36

Так как D=36, а это число больше 0, то второе уравнение имеет два корня. Найдём их.

x=(-4+6)/2=1

х=(-4-6)/2=-5

Ответ: х=1 и х=-5.

Задание 20 решено.

Убедимся в правильности решения, сделав проверку:

Подставим в исходное уравнение х⁴=(4х-5)² значения х, равных 1 и -5.

Получаем: 

1⁴=(4•1-5)²

1=(-1)²=1 (верно)

(-5)⁴=(4•(-5)-5)²

625=(-20-5)²=625 (верно)

При подстановке в уравнение вместо х 1 и -5 получаются верные равенства, значит корни уравнения найдены верно.

Предлагаю решение 20 задания в компактном виде. Так его можно оформить на экзамене и получить за это 2 балла.

Спасибо, что прочитали. Кому интересно, предлагаю для самостоятельного решения уравнения:

Они лёгкие

Можете предлагать мне свои уравнения, с удовольствием порешаю.

Дорогие мои! Решение описала подробно по просьбам девятиклассников. В следующих публикациях покажу решение заданий 21,22,23,24,25 демонстрационного варианта ОГЭ. Это проект 2024 года.

Успехов в решении математических задач и в подготовке к экзамену.

До новых встреч на канале.

С вами автор - учитель математики Любовь Михайловна.