Прежде, чем швыряться предметами, хотелось бы сначала узнать официальную формулировку теоремы. Да, будет неприятно, но это буквально 5 строчек. Там дальше - прям сразу начнём швыряться всем подряд.
Фух! Погнали
Пусть (ℕ, d) - непустое полное метрическое пространство.
Пусть Т: ℕ → ℕ - сжимающее отображение на ℕ, то есть существует число 0≤α≤1 такое, что d(Tx, Ty) = αd(x, y), для всех х, y из ℕ
Тогда у отображения Т существует, и притом единственная, неподвижная точка х* из ℕ (неподвижность х* означает, что Тx* = x*)
Однако же, если перевести с математического на русский, получается невероятно красивый факт.
Положим линейку на стол. А лучше, чтобы было эффектнее - швырнём линейку на стол!
А теперь возьмём такую же линейку и сожмём её в масштабе! Поднапряглись!
Ыыть!
Отлично! И её тоже швырнём на стол, прямо на первую линейку!
Обратите внимание, что там, где у маленькой линейки значение 0, у большой - значение 10. Там, где у маленькой линейки 16, там у большой где-то 14,5.
Но там, где у маленькой линейки 14, там у большой линейки тоже 14.
Такая точка, которая в одном и том же месте оказалась на маленькой и на большой линейках - называется неподвижной точкой. И суть теоремы в том, что
- Такая точка будет найдена всегда, если маленькая линейка не будет вылезать за границы большой
- Такая точка всегда ровно одна. Ни больше и ни меньше!
Давайте передвинем нашу линейку по-другому и поищем неподвижную точку в менее удобном случае.
Возьмём какую угодно точку на маленькой линейке и посмотрим какое число соответствует ей на большой.
Отлично! Теперь найдём 6 на маленькой линейке и снова посмотрим, чему она соответствует на большой
Продолжаем. Раз получили 6,5, теперь найдём 6,5 на маленькой линейке.
Сделаем ещё одну такую операцию
Таким образом мы можем всегда найти единственно возможную неподвижную точку. Просто несколько раз попрыгать по линейке, постепенно делая прыжки всё меньше и меньше.
А почему же такая точка всегда всего одна? Почему не 2 или 10?
Ну это совсем просто. Если бы таких точек было хотя бы две, получилась бы полная ерунда, а именно - например, там, где у маленькой 10, на большой тоже 10. А ещё на маленькой 14 и на большой 14. Тогда получается, что расстояние между двумя точками на маленькой линейке абсолютно такое же, как на большой.
Очевидно же, что расстояние 10-14 на маленькой линейке не может быть таким же, как на большой. Маленькая линейка же меньше, а значит и расстояния между соответствующими точками на ней меньше. Поэтому даже двух неподвижных точек уже точно быть не может.
Увеличиваем размерность
Берём карту метро и швыряем на стол
На эту карту швыряем линейку по горизонтали!
А ещё одну линейку - по вертикали!
Это творение я назову...
"САНТИМЕТРО"!!!
А теперь на это вот сантиметро швыряем изо всех сил второе сантиметро! Поменьше.
Ну а теперь мы знаем, что у двух горизонтальных линеек (одна большая, вторая - маленькая) есть неподвижная точка х*.
И у двух вертикальных линеек есть неподвижная точка у*. А у всей карты сантиметро есть всего одна единственная неподвижная точка (х*, y*). И я даже знаю где, а вы - нет!
Станция Таганская на маленькой карте находится внутри станции Таганская на большой! И ни одной другой такой станции на этой композиции нет. Круто?
Стефан Банах, создавая теорему, не определил сколько должно быть измерений у метрического пространства, так что будем наращивать их количество, пока мама домой не позовёт.
Переходим к 3D.
Что сразу же приходит вам в голову, когда вы пытаетесь придумать что-то трёхмерное?
Мне вот - Стефан Банах.
Но раньше люди были чёрно-белые. Сделаем его цветным и помоложе
Поскольку, его сделала нейросеть, каждая клетка его организма пронумерована. Изобразить я этого не смогу, но просто представьте, что Банах размечен тремя линейками. Примерно как карта метро, только ещё одна перпендикулярна оставшимся двум.
А теперь, рядом с Банахом поставим его желейную копию! Её клетки полностью идентичны клеткам Банаха, только они желейные. Но пронумерованы также!
А теперь уменьшим настоящего Банаха!
А теперь... Хватаем Банаха и швыряем в желейного Банаха так, чтобы он там застрял!
Ждём, пока желейный Банах перестанет трястись и раскачиваться после швыряния в него его уменьшенной копии и смотрим!
Так вот, ровно одна из пронумерованных клеток у настоящего Банаха будет находиться внутри клетки желейного Банаха ровно с таким же номером! Эта клетка, в данном случае, находится где-то в пищеводах Банахов.
Крутотища!
Надеюсь, вы уже поняли в чём смысл теоремы и мне не придётся показывать как я швыряю 4-мерного Банаха в 4-мерного желейного Банаха!
Пожалуйста, скажите, что поняли!
Всем спасибо, всех пересчитал!