Ричард Шварц, математик из Университета Брауна, пытался найти ответ на вопрос: «Насколько маленькой можно сделать ленту Мёбиуса, чтобы она не пересекалась сама с собой?» Над ним почти 50 лет бились и другие математики. Но именно Шварц придумал оригинальное решение.
Еще в 1977 году таким вопросом задавались Чарльз Уивер и Бенджамин Халперн. Они в своей научной статье дали такое ограничение для лент Мёбиуса: соотношение между длиной и шириной бумаги должно быть больше √3, или около 1,73. В основу этого принципа легла геометрия сложенных кусочков твердой бумаги.
Шварц же заинтересовался проблемой 4 года назад, когда ему о ней рассказал коллега. Много раз он пытался найти решение, а в 2021 году даже опубликовал статью с одним из методов. Но, увы, он оказался не очень-то удачным.
Тем не менее ученый не оставил эту задачку и начал ставить эксперименты со сжатием бумажных лент Мёбиуса. Он подумал, что двумерную форму проще решить математически. Но вот однажды, разрезав одну из петель под углом (что требовалось для решения), Шварц увидел то, чего точно не ожидал.
Длина двухмерного листа не напоминала параллелограмм, о чем исследователь писал еще в первой статье. Это больше походило на трапецию — фигуру с четырьмя прямыми сторонами, только две из которых были параллельны друг другу. Так Шварц обнаружил ошибку, которую допустил при постановке задачи оптимизации.
Три ночи он потратил на то, чтобы исправить допущенную ошибку. Ученому помогли и коллеги. «Я был поражен и обрадован, обнаружив, что, когда я правильно решил задачу оптимизации, я получил… √3 прямо на носу!», — записал Шварц.
В чем состоит загадка ленты Мёбиуса?
Впервые в 1858 году ленту описали немецкие математики Август Мёбиус и Иоганн Листинг. Эта фигура неориентируема, то есть простой муравей, который движется по такой ленте, никогда не оказывается ни внутри, ни снаружи, ни вверху, ни внизу. Насекомые, идя по такому пути, непрерывным движением охватывают обе стороны ленты.
Да, ленту Мёбиуса не нужно переворачивать. И такое свойство стали использовать для магнитофонов, пишущих машинок, конвейерных лент, картриджей для печати и даже американских горок. Эти фигуры продолжают использовать в ювелирных изделиях, также лента Мёбиуса есть в логотипе Гугл Диска и в международном символе переработки.
А вот новую статью Шварца об этом объекте можно прочитать в качестве препринта на arXiv.