Предыдущий урок:
Первый урок:
На прошлом уроке было рассказано об основах квантовой механики. Кратко напомню, о чем шла речь. Сначала ученые обнаружили, что существующих знаний недостаточно, чтобы объяснить, почему хреновина, нагретая до температуры 1000 градусов Цельсия светится красным, а до 9000 уже светло-голубым. А при попытке смоделировать все это было вообще весело: по одной из формул получалось, что нагретое тело должно иметь бесконечную светимость и по этой причине мгновенно остывать, чего в реальности мы не наблюдаем. По другой формуле все было нормально, но расчеты все равно не бились с реальностью. И выходило очень так хитро. На малых значениях частоты расчеты точно сходились с первой формулой, потом сходиться переставали и начинали точно сходиться со второй формулой. Планк объединил эти формулы путем «подгонки под ответ», выведя третью формулу. Уже потом физики пришли к выводу, что энергия электромагнитной волы не может принимать абы какие значения, а может только конкретные дискретные значения, то есть она квантуется. В общем, в классической физике все величины (работа, энергия и т. д.) меняются непрерывно и могут принимать любые значения. Но Планк предположил, что это не так и энергия квантуется. Но размер кванта настолько мал, что мы до сих пор это не заметили, и поэтому на макроуровне нам кажется, что все непрерывно. Потом были открыты еще разливные квантомеханические эффекты, в частности, принцип неопределенности Гейзенберга, а так корпускулярно-волновой дуализм. Вот о нем и пойдет речь.
Согласно корпускулярно-волновому дуализму, любая частица, будь то фотон, электрон, протон или какой-нибудь там бозон, ведет себя одновременно и как частица, и как волна. Это доказывает эксперимент с двумя щелями, о котором я сейчас и расскажу.
Впервые этот эксперимент провел Томас Юнг. Он направил монохроматичный свет на экран-ширму с двумя узкими щелям (прорезями). Этот эксперимент был проведен с целью выяснить, чем является свет, волной или частицей. Если свет – это поток частиц, то мы должны увидеть на заднем экране две светлые полоски. Но если свет – это волна, то каждая из прорезей, согласно принципу Гюйгенса, каждая из прорезей будет отдельным источником света:
То есть, две щели – это два источника света, и волны от этих источников, сталкиваясь в разных фазах, где-то усиливают, а где-то ослабляют друг друга. Таким образом, на экране мы будем наблюдать так называемую интерференционную картину:
И что же увидел Юнг? Он увидел эту саму интерференционную картину картину:
Такой эксперимент можно и провести самостоятельно: в фольге от шоколадки следует самой тонкой швейной (лучше бисерной) новой иглой проделать два чрезвычайно тонких отверстия как можно ближе друг к другу. Не следует пропускать иглу насквозь, нужно лишь наколоть отверстия самым кончиком. Далее в хорошо затемнённой комнате осветить место проколов мощным источником света. Удобно воспользоваться лазерной указкой, так как её свет монохроматичен. На экране, расположенном в 0,5—1 метре удаётся наблюдать дифракционную картину и интерференционные полосы.
Казалось бы, эксперимент доказал, что свет – это волна. Но, если источник излучает свет порциями в один фотон, то картина становиться совершенно другая. Фотон случайным образом проходит через одну из щелей и поглощается стоящей за ширмой фотопластинкой, оставляя на ней точку засветки. При многократном «пулянии» по щели на фотопластинке появляется совокупность точек, которая очень сильно напоминает уже знакомую по эксперименту Юнга интерференционную картину:
И, чем больше выпущено фотонов, тем больше отдельные точки сливают в интерференционную картину. То есть, что получается. Каждый фотон по отдельности – это частица. Мы пуляем этой частицей по щели, она проходит случайно через одну из щелей и оставляет свет на фотопластинке. По логике, если мы, таким образом, выстрелим много раз, то на фотопластинке должны отобразиться эти две щели. Но отображается интерференционная картина, как если бы свет был волна. То есть, по отдельности фотоны ведут себя как частицы, а в целом свет – это волна. Получается какой-то парадокс.
Еще веселее будет, если поставить на пути отдельного фотона полупрозрачное зеркало, таким образом, что фотон может пройти через него и быть зарегистрированным одним детектором, или, напротив, отразиться и попасть в другой детектор:
Как думаете, что получается на практике? А на практике получается, что в половине случаев фотон проходит через зеркало, в половине отрежется. И все это происходит совершенно случайно с вероятностью 50 на 50. То есть, получается, что зеркало «выбирает» пропустить или отразить фотон? Нет, конечно, не выбирает. Это тоже просто случайное событие.
Обратите внимание на слово «случайное событие». Это, на самом деле, важно. В математике есть такой раздел, который называется «теория вероятности» и который изучает именно случайности и закономерности, вытекающие из случайностей. Казалось бы, какие в случайности могут быть закономерности? А вот есть. Например, у любого случайного события есть вероятность – величина, которая показывает насколько вообще возможно, что это событие случится. И выражается данное событие числом от 0 до 1. Если 0 – событие никогда не случается, 1 – случается всегда. И есть куча промежуточных вариантов. Например, мы подбрасываем монету, в половине случаев выпадает «орел» в половине «решка». Значит, вероятность выпадение «орла» или «решки» 0.5 (или 50%). А вот вероятность выпадения тройки на кости с шести гранями равна 1/6. Так вот, используя математический аппарат теории вероятности, физики предположили, что частица – это некие волны вероятности, которые распространяются по пространству. И эти волны подчиняются определенным законам.
Исходя из предположения, что любая частица, будь то фотон, электрон или какой-нибудь там бозон – это поле вероятности, Эрвин Шредингер вывел свое знаменитое волновое уравнение, которое в общем виде выглядит вот так:
Выглядит страшно, но пугаться не надо. Давайте разберемся. Здесь H с уголком наверху – это так называемая функция Гамильтона, которая представляет собой оператор полной энергии системы. Не буду пока вдаваться в подробности, как вычисляется эта функция, скажу только, что результатом вычисления является сумма потенциальной и кинетической энергии системы. Аргументами функции является координата (q) и импульс (p) частицы. Если полную энергию обозначить буквой E, тогда формула будет выглядеть так:
Уже не так страшно, не правда ли? По крайней мере, в правой частиц просто произведение двух множителей. А что в левой? Давайте разберемся сначала вот с этим:
Это так называемый дифференциал в частных производных. Дифференциал это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента. Если сказать по-русски это скорость. Скорость изменения чего либо. Если хотите узнать об этом подробнее с точки зрения математики, то можно зайти сюда:
В нашем случае мы имеем дело со скоростью изменения пси-функции, которая обозначается вот таким вот знаком:
Пси-функция величина векторная, то есть, она имеет направление в пространстве, поэтому у нас не просто дифференциал, а дифференциал в частных производных. Что это значит? А это значит, что у нас тут дифференциалов «три в одном» – по одному на каждую из трех пространственных координат.
Да, мы еще не разобрали, что такое «пси-функция». Ее еще называет «волновой функцией». Это комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. То есть, значение функции представляют собой комплексные числа. Если кратко, то комплекснозначная функция состоит из двух частей (вещественной и мнимой):
где i – это так называемая мнимая единица:
Да, из минус единицы корень извлечь нельзя. Но никто нам, например, не запрещает возвести ее в квадрат:
В общем, это очередная математическая абстракция, и ввели ее не просто так. Она облегчает расчеты во многих областях науки и техники, в частности, в квантовой механике.
– Стоп-стоп, – скажите Вы, – но это еще более непонятно. Какие-то комплексные числа, какие-то новые абстракции. Какие-то корни из минус единицы.
Спокойно. Без паники. Сейчас мы рассмотрим еще одну абстракцию и все будет понятно.
Вернемся к теории вероятности. Что такое, «вероятность», надеюсь, из объяснений выше понятно. Теперь смотрите. У нас есть кубик. У него шесть граней. Вероятность выпадение каждой грани 1/6. Если кубик немного подриховать напильником, то это соотношение нарушится. Где-то будет вероятность больше 1/6, где-то меньше. Предположим, у нас стало вот такое распределение:
Эта таблица называется «распределение вероятности». Строк может быть и больше. Если их очень много, то можно даже построить график. Собственно, шкала распределения не обязательно может быть дискретной. Может быть например так, что величина принимает значение от какого-то начального значения до какого-то конечного, и, на всем этом диапазоне мы можем, например определить вероятность что случайная величина примет какое-то значение на более узком диапазоне внутри всего этого диапазона:
Посмотрите на этот график. Здесь x – это случайная величина, а y – вероятность, что она примет именно это значение. Заштрихованный диапазон – это вероятность того, что случайная величина примет значение от a до b. То есть, вероятность – это, по сути, площадь заштрихованной фигуры.
Такая функция еще называется «плотность вероятности».
А теперь внимание: согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики, плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении. Что это значит? А это значит, что частица как бы «размазана» по пространству, и мы не можем определить, где она находиться, мы можем работать только с вероятностью обнаружить частицу в том или ином месте. Где-то эта вероятность большая, в том месте, соответственно, больше пси-функция. Где наоборот, вероятность обнаружения частицы низка, значит, в том месте и пси-функция имеет низкое значение.
Отдельно стоит пояснить, что значит «квадрат абсолютного значения». Абсолютное значение – это модуль. В случае нашей функции это:
Соответственно, квадрат абсолютного значения – это просто сумма квадратов модулей вещественной и мнимой части:
Вот этот вот математический аппарат, который мы сейчас с вами рассмотрели (пси-функцию) и уравнение Шредингера, физики как раз использовали для объяснения эксперимента с двумя щелями. Об этом я напишу более подробно на следующем уроке, а сейчас скажу лишь кратко: частица проходит через одну щель (случайно), а ее волновая функция раздаивается, каждая часть проходит через свою щель, а потом они сливаются и дают интерференционную картину.