Здравствуйте!
Многие мои ученики, с которыми я работал во время подготовки к ЕГЭ по математике, испытывали трудности с отбором корней тригонометрических уравнений на отрезке. При этом сами уравнения они решали весьма сносно.
И целью сегодняшней статьи является обучению алгоритму отбора корней.
Операция отбора корней тригонометрического уравнения на данном отрезке состоит из трёх основных этапов.
1. Нанесение корней на тригонометрическую окружность.
2. Отметки на тригонометрической окружности отрезка, внутри которого мы ищем корни.
3. Вычисление координат корней.
Теперь разберём каждый этап по отдельности. И чтобы было нагляднее, будем сразу выполнять отбор корней на конкретном примере.
В результате решения тригонометрического уравнения были получены корни π/3 + 2πk, 2/3 π + 2πk, πk, где k∈Z. Какие из этих корней принадлежат отрезку [7π/2, 9π]?
Нанесение корней уравнения на тригонометрическую окружность.
Эта операция самая лёгкая. Мы просто отметим корни на тригонометрической окружности, отбросив периодичность.
Теперь найдём углы между отмеченными корнями уравнений и ближайшими значениями целочисленных π. Для этого вычтем из корня уравнения ближайшее целое π:
2π/3 - π = -π/3;
π/3 - 0 = π/3.
И в конце этого этапа сотрём все надписи, где мы подписывали нанесённые углы. При этом оставим полученные ранее значения углов между корнями уравнения и ближайшими целочисленными значениями π.
Выделение данного отрезка
Вспоминаем, что положительное направление углов отсчитывается против часовой стрелки, а отрицательное — по часовой стрелке.
Далее отмечаем нулевую точку и в случае положительных значений на отрезке движемся против часовой стрелки, мысленно отмечая π/2, 2π/2, 3π/2 и так далее пока не дойдём до левой границы отрезка. В нашем примере это 7π/2.
Граничную точку специально не выделяем, чтобы случайно не принять её за корень уравнения. Если же она совпадает с корнем уравнения, то оставляем её без изменения.
Далее мы продолжаем отсчёт углов, двигаясь против часовой стрелки в случае положительных границ отрезка и по часовой стрелке в случае отрицательных границ отрезка. Но при этом выделяем наше движение (цветом или штриховкой) и подписываем все углы, кратные π/2.
Продолжаем это делать до тех пор, пока не дойдём до правой границы (для положительных границ) или до левой границы (для отрицательных границ).
В результате наш отрезок [7π/2, 9π] изображается на тригонометрическом круге в виде сектора
В подавляющем большинстве случаев наш отрезок, внутри которого мы ищем корни, на тригонометрической окружности принимает вид сектора. Однако в некоторых исключительных случаях авторы задач задают большие отрезки, которые приходится изображать в виде спирали.
Другие случаи
Если же данный отрезок содержит отрицательные значения угла, то делаем все то же самое, пока не дойдём до правой границы отрезка. Например, до -5π/2.
Отдельно следует описать вариант, при котором левая граница отрезка отрицательна, а правая положительна. В этом случае мы движемся по часовой стрелке, пока не дойдём до левой границы, а затем возвращаемся против часовой стрелки, выполняя штриховку или отмечаем область цветом, пока не дойдём до правой границы.
Например, отрезок [-π/2; π] изображается на тригонометрической окружности следующим образом.
Вычисление координат корней
И теперь переходим к заключительному и самому важному этапу: границы отрезка отмечены, точки (корни уравнения) у нас есть, осталось правильно их подписать.
Объединим результаты первого и второго пункта: совместим отрезок, на котором мы ищем корни, с отмеченными корнями уравнения
Если корень уравнения совпадает с целым или полуцелым значением π (π, 2π, 3π, –π, 3π/2, 5π/2 и т.д.), просто записываем его в ответ.
В общем случае прибавим найденный ранее угол к целому числу π.
В нашем примере
5π -π/3 = 14π/3
4π + π/3 =13π/3.
Ответом нашего примера являются точки 4π, 13π/3, 14π/3, 5π.
Надеюсь, что эта статья несмотря на большой объём была понятна и полезна для вас!
Если остались вопросы по отбору корней в тригонометрических уравнениях, задавайте их в комментариях. Также в комментариях задавайте свои вопросы, которые могут быть темой следующих статей.
Если эта статья была вам полезна, поставьте, пожалуйста лайк. Вам нетрудно, а мне приятно и стимулирует работать для вас!
Если вы хотите и дальше читать мои математические статьи, подпишитесь на канал!
Удачи вам в повторении математики и успешной подготовки к экзаменам!
А я с удовольствием помогу вам в этом!
Ваш Виталий Самонов
#репетиторпоматематике #егэпоматематике #тригонометрическиеуравнения #отборкорней #задача13егэ