Смешанное произведение — это математическое понятие, которое используется в линейной алгебре и геометрии. Смешанное произведение векторов — это операция, которая определена для трех векторов в трехмерном пространстве.
Обозначается с помощью символа "тройное произведение"
равное— скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов и третьего вектора.
Смешанное произведение имеет простой геометрический смысл: смешанное произведение трех некомпланарных векторов a, b, с равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, выходящих из одной вершины, взятого со знаком плюс, если тройка векторов a, b, с — правая, и со знаком минус, если эта тройка — левая.
Итак, модуль смешанного произведения трех векторов равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами
Отсюда можно выделить условие компланарности векторов: если смешанное произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные. Действительно, если векторы a, b, c компланарны, то параллелепипед, построенный на них, "вырождается" в плоскость. Поэтому ему следует приписать нулевой объем.
Объем пирамиды, построенной на тройке векторов находим по формуле
он равен одной шестой части от модуля смешанного произведения данных векторов.
Если векторы заданы своими координатами в декартовой системе
то их смешанное произведение вычисляется по формуле
это определитель, в строки которого записаны координаты векторов
Смешанное произведение векторов имеет следующие полезные свойства:
Антисимметричность: смешанное произведение меняет знак при перестановке любых двух аргументов. То есть, справедливо следующее:
Умножение на скаляр:
Дистрибутивность относительно сложения
Тождество Якоби:
Смешанное произведение имеет также много других свойств и применений в математике, физике, механике, электродинамике, оптике и других областях науки. Оно играет важную роль в решении задач, связанных с векторным анализом и геометрией трехмерного пространства.
Пример задания - ход решения:
Сделаем схематический чертеж пирамиды построенной на векторах
Есть вопросы? Пожелания? Обращайтесь - контакты для связи