Для поступления в 8 класс Университетской гимназии МГУ необходимо успешно сдать вступительные экзамены, среди которых есть и экзамен по математике. Первая часть этого экзамена сдаётся письменно. Проходит он классически: поступающим даётся список задач, которые они должны решить за отведённый промежуток времени. Я, как репетитор по математике и физике, готовлю школьников к этому экзамену. А в этой статье, в помощь тем, кто готовится к нему самостоятельно, решил разобрать пример варианта, составленный по аналогии с демонстрационным вариантом экзамена, выложенным на сайте гимназии в 2023 году для физико-математического направления.
Разбор вступительного экзамена по математике в 8 класс гимназии МГУ
Задание 1. Вставьте вместо звездочек пропущенные одночлены так, чтобы получилось равенство
Так как первый член в выражении слева от знака равенства равен 3x^2, то вторая звёздочка в выражении справа от знака равенства должна заменять член x^2. Так как последний член в выражении слева от знака равенства равен -2y^2 , то первая звёздочка в выражении справа от знака равенства должна заменять член 2y. Значит, выражение справа от знака равенства имеет вид: (3x+2y)(x^2-y). Раскроем скобки: 3x^3+2x^2y-3xy-2y^2, и мы нашли всё выражение.
Ответ: 3xy, 2y и x^2.
Задание 2. Верно ли, что неравенство снизу выполняется при любых значениях x?
Упростим неравенство. Для этого раскроем скобки, перенесём всё в одну сторону неравенства и приведём подобные слагаемые: 4xy + 2 - 6 +2x^2-6xy + 2xy + 4 > 0 или 2x^2 > 0. Теперь видно, что данное неравенство выполняется при всех x, кроме x = 0.
Ответ: неверно.
Задание 3. В классе 25 учеников: из них 11 ходят в кружок по вязанию и 22 — в кружок по лепке. Сколько учеников не ходят в эти кружки, если известно, что посещают оба кружка втрое больше, чем не посещающих ни одного из них?
Пусть x учеников не ходят в эти кружки. Тогда 3x учеников ходят в оба этих кружка. Посчитаем всех учеников вместе: 11 + 22 - 3x + x = 25. Член -3x появляется, поскольку при сложении 11 и 22 мы дважды посчитали учеников, которые ходят в оба кружки, поэтому один раз их нужно вычесть. Из полученного уравнения находим, что x = 4.
Ответ: 4.
Задание 4. Истислав выполняет некоторую работу за 4 дня, Драгомир выполняет эту работу за 6 дней, а Эпиктет - за 12 дней. Сначала два дня работал только Драгомир, а с третьего дня к нему присоединились Истислав и Эпиктет. Когда они закончили работу, заказчик расплатился с ними конфетами в количестве 900 штук. Сколько конфет из этого количества причитается Истиславу?
Назовём производительностью каждого работника то, какую часть работы он выполняет за день в одиночку. Тогда производительность Истислава равна \( \dfrac{1}{4} \), производительность Драгомира равна \( \dfrac{1}{6} \), а производительность Эпиктета равна \( \dfrac{1}{12} \).
Поскольку первые два дня Драгомир работал в одиночку, то он выполнил за эти первые два дня 2*1/6 = 1/3 часть всей работы. То есть осталось выполнить 1-1/3 = 2/3 части работы. Далее работники работали вместе, и их общая производительность составила 1/4+1/6+1/12 = 6/12 = 1/2. То есть для того, чтобы закончить работу, им потребовалось ещё 2/3 : 1/2 = 2/3*2 = 4/3 дня. За это время Истислав выполнил 4/3*1/4 = 1/3 часть работы. Значит, ему причитается ровно 1/3 часть вознаграждения. То есть 1/3*900 = 300 конфет.
Ответ: 300.
Задание 5. В треугольнике один из углов в 2 раза меньше второго и в 3 раза меньше третьего. Самая большая сторона в этом треугольнике по длине равна 18. Найдите длину самой маленькой стороны в этом треугольнике.
Пусть самый маленький угол этого треугольника равен x градусов, тогда второй угол равен 2x градусов, а третий равен 3x градусов. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то получаем, что x+2x+3x=180 градусов, откуда находим, что x = 30 градусов. Значит, величина самого большого угла в этом треугольнике равна 3x = 90 градусов. То есть этот треугольник прямоугольный. В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона, поэтому самая маленькая сторона этого треугольника лежит против угла в 30 градусов. В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, который равен половине гипотенузы (самой большой стороны треугольника). Значит, самая маленькая сторона в этом треугольнике по длине равна 1/2*18 = 9.
Ответ: 9.
Задание 6. В магазине действует скидка на картошку в 20%. Из-за этого тётя Люся смогла купить 2.5 килограмма картошки за 75 рублей. Сколько килограммов картошки смогла бы купить тётя Люся за 150 рублей, если бы в магазине не действовала скидка?
Тётя Люся заплатила 75 рублей за 2.5 килограмма картошки, то есть 75 : 2.5 = 30 рублей за килограмм. Поскольку в магазине действует скидка 20%, то это составляет лишь 100 - 20 = 80% полной цены за картошку. Тогда 1% составляет 30 : 80 = 0.375 рубля, а цена картошки без скидки составляет 0.375 × 100 = 37.5 рубля за килограмм. Значит, за 150 рублей тётя Люся смогла бы купить 150 : 37.5 = 4 килограмма картошки, если бы в магазине не действовала скидка.
Ответ: 4.
Задание 7. Верно ли, что если две стороны и высота, проведённая к третьей, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведённой к третьей, другого треугольника, то такие треугольники равны?
Нет, это неверно. Контрпример:
На рисунке у треугольников ABC и BDC равны две стороны (AB = BD и BC - общая) и высоты, проведённые к третьей стороне (BH - общая высота), но сами треугольники не равны, так как один из них остроугольный (ABC), а другой - тупоугольный (BDC).
Задание 8. Возраст корабля вдвое превышает возраст, в котором был его двигатель, когда кораблю было столько лет, сколько двигателю в настоящее время. Каков возраст корабля, если возраст двигателя 6 лет?
Пусть кораблю в настоящее время x лет. Поскольку в настоящий момент двигателю 6 лет, то момент, когда кораблю было столько же лет, сколько двигателю сейчас, был x - 6 лет назад. В тот момент двигателю было 6 - (x-6) = 12-x лет. Так как возраст корабля вдвое превышает возраст двигателя в тот момент, то имеет место уравнение: x = 2*(12-x), откуда находим, что x = 8.
Ответ: 8.
Подготовка к вступительному экзамену в Университетскую гимназию МГУ
Если вам требуется подготовка к вступительному экзамену по математике или физике в 8 или 10 классы Университетской гимназии МГУ или в другие ведущие школы Москвы и Подмосковья, обращайтесь ко мне. Как репетитор по математике и физике я веду такую подготовку на протяжении многих лет. Имею в этом деле большой и успешный опыт. Информацию обо мне и моих занятиях вы найдёте на сайте: https://yourtutor.info/.
