Спустя год после успешной защиты докторской диссертации по математике в Университете Макгилла, Мэтт Боуэн столкнулся с проблемой. "Я проходил квалификационные экзамены и сдал их весьма неудачно", - отметил он. Боуэн был убежден, что его оценки не отражают его математических способностей, и решил это доказать. Прошедшей осенью он вместе со своим научным руководителем, Мартином Сабоком, опубликовали значительный прогресс в области, известной как теория Рамсея.
В задачах теории Рамсея часто рассматривают различные способы раскрашивания элементов некоторого множества (например, чисел, рёбер графа и т. д.) с использованием фиксированного числа цветов. Основной вопрос состоит в том, можно ли найти подмножество, в котором все элементы окрашены в один и тот же цвет, независимо от способа раскраски.
В течение почти ста лет математики собирали доказательства того, как разные математические структуры проявляются даже в неблагоприятных условиях. Они исследуют, например, целые числа, дроби или графы, а затем пытаются доказать, что определенные структуры неизбежны, даже если вы пытаетесь избежать их создания, разбивая или нарезая множество хитрым способом.
Когда специалисты в теории Рамсея обсуждают разделение набора чисел, они часто используют язык раскрашивания. Выберите несколько цветов: например, красный, синий и желтый. Теперь назначьте цвет каждому числу в наборе. Даже если вы делаете это случайным или хаотичным образом, определенные закономерности неизбежно проявятся, пока вы используете только конечное число различных цветов, даже если это число очень велико. Математики стремятся найти эти закономерности, исследуя структурированные наборы чисел, которые называются "монохроматическими", то есть окрашенными в один цвет.
Яркий пример - это теорема Ван дер Вардена. В формальной постановке теорема гласит следующее: для любых положительных целых чисел k и n существует такое число N, что при любой раскраске чисел от 1 до N в k различных цвета найдется арифметическая прогрессия длины n, все элементы которой окрашены в один и тот же цвет.
Теорема Ван дер Вардена не указывает конкретное значение для N в приведенном примере, она лишь утверждает, что такое N существует.
Первые результаты в области раскрашивания чисел относятся к концу 19 века. К 1916 году Исай Шур доказал, что независимо от того, каким образом раскрашиваются положительные целые числа (или натуральные числа), всегда можно найти пару чисел x и y, такие что x, y и их сумма x + y будут одного цвета.
В ходе 20 века математики продолжали исследовать вопросы раскрашивания. В 1974 году Нил Хиндман дополнил результат Шура, включив в его доказательство бесконечное подмножество целых чисел. Подобно теореме Шура, теорема Хиндмана применима независимо от способа раскрашивания натуральных чисел в конечный набор цветов. В наборе Хиндмана не только все целые числа одного цвета, но и сумма любого их подмножества также будет этого цвета.
"Теорема Хиндмана — удивительный фрагмент математики", — отметил Сабок. "Это история, достойная экранизации".
Однако Хиндман полагал, что возможно большее. Он был уверен, что можно найти сколь угодно большое (но конечное) монохроматическое множество, в котором содержатся не только суммы его элементов, но и произведения. "Я на протяжении десятилетий утверждал, что это факт", — сказал он, добавив: "Я не утверждаю, что могу это доказать".
Гипотеза Хиндмана
Если отказаться от суммы и стремиться удостовериться лишь в том, что произведения имеют одинаковый цвет, адаптация теоремы Хиндмана становится относительно простой задачей, решаемой через естественную операцию, которая сводит умножение к сложению, - логарифмированию.
Однако, одновременная работа с суммами и произведениями значительно усложняет задачу. "Очень сложно заставить эти два элемента взаимодействовать друг с другом", - отметил Джоэл Морейра, математик из Университета Уорика. "Понимание взаимосвязи сложения и умножения, в некотором роде, является почти основой всей теории чисел".
Герой материала Мэтт Боуэн столкнулся с задачей {x, y, xy, x + y} в 2016 году, во время второго семестра обучения в колледже, когда один из его профессоров в Университете Карнеги-Меллон представил эту проблему на занятии. Боуэн был поражен ее простотой.
"Это одна из тех замечательных задач, когда, кажется, я не очень глубоко понимаю математику, но могу в какой-то степени понять это", — сказал он.
В 2017 году Морейра доказал, что всегда можно найти монохроматический набор, включающий три из четырех желаемых элементов: {x, xy и x + y}. Между тем Боуэн начал неформально заниматься этим вопросом в старших классах.
"На самом деле я не мог решить проблему", — сказал он. "Но я возвращался к этому каждые шесть месяцев или около того".
После того как он плохо сдал квалификационные экзамены на степень доктора философии в 2020 году, он удвоил свои усилия. Через несколько дней он доказал гипотезу {x, y, xy, x + y} для случая двух цветов - результат, который Рональд Грэм уже доказал еще в 1970-х годах, но с помощью компьютера.
Таким образом, несмотря на начальные трудности, Боуэн продолжил углублять свои знания и усилия в данной области, что в конечном итоге привело к успешному продвижению в решении этой сложной математической задачи.
Достигнув первоначального успеха, Боуэн совместно с Сабоком занялся расширением результата на любое количество цветов. Однако они быстро столкнулись с техническими трудностями.
"Сложность задачи полностью выходит из-под контроля, когда количество цветов велико", — отметил Сабок.
В течение 18 месяцев они пытались разобраться в проблеме самостоятельно, но безуспешно.
"За эти полтора года у нас было около миллиона неправильных доказательств", — сказал Сабок.
Одной из основных проблем, с которой столкнулись математики, была связана с делением. Если выбрать два целых числа случайным образом, вероятно, их не получится разделить. Деление возможно лишь в том редком случае, когда первое число кратно второму. Это значительно ограничивало возможности.
Осознав это, Боуэн и Сабок переключились на доказательство гипотезы {x, y, xy, x + y} в области рациональных чисел, где числа можно делить без проблем.
В октябре 2022 года Боуэн и Сабок опубликовали доказательство того, что при раскрашивании рациональных чисел конечным числом цветов можно получить набор вида {x, y, xy, x + y}, все элементы которого окрашены в один и тот же цвет.
"Это невероятно умное доказательство", — отметил Имре Лидер из Кембриджского университета. "В нем используются известные результаты, но они сочетаются абсолютно блестящим, очень оригинальным, очень инновационным способом".
Тем не менее, остаются открытыми многие вопросы. Возможно ли включение в набор третьего числа z вместе с последующими суммами и произведениями? Реализация самых амбициозных предсказаний Хиндмана подразумевала бы добавление четвертого, пятого и, в конечном итоге, произвольного количества новых чисел к последовательности. Для этого также потребуется переход от рациональных к натуральным числам и нахождение решения проблемы с делением, которая стала препятствием для усилий Боуэна и Сабока.
Мартин Сабок, не смотря на успех, более осторожен в своих прогнозах, не исключая, однако, возможности положительного исхода.
"Одно из волшебств математики заключается в том, что до тех пор, пока вы не получите доказательство, всё возможно", — сказал он.
Эти слова подчеркивают интригующий и неопределенный характер научного поиска и открытий в области математики, где каждое новое исследование может открыть дорогу к неожиданным и вдохновляющим открытиям.
- Спасибо за внимание!
- Оригинал - https://www.quantamagazine.org/coloring-by-numbers-reveals-arithmetic-patterns-in-fractions-20230315/