В комментариях к посту в ВК коллеги поделились интересными задачами и активностями, которые они используют в своей преподавательской деятельности.
Ниже подборка самых примечательных находок.
Арсений Кузнецов :
1) Я загадываю число, это обязательно одно из чисел 1, 2, 3. У вас есть возможность задать мне ровно один вопрос, на который я честно отвечу "да", "нет" или "не знаю". Ваша цель - задать такой вопрос, чтобы гарантированно отгадать моё число. (То есть, по факту, построить биекцию возможных ответов и чисел 1, 2, 3). Для начинающих игра хороша тем, что позволяет ввести идею количества информации, для совсем начального уровня - объяснить, что значит "угадать гарантированно" (дети сначала обязательно будут задавать вопросы, в которых есть только ответы "да" и "нет"; мысль о том, что надо начинать с придумывания такого вопроса, который потенциально может иметь ответ "не знаю", является для многих далеко не очевидной). Я знаю несколько решений этой загадки, как вполне математическое, так и несколько в различной степени "читерских". Количество людей, которым я задавал эту загадку, давно перевалило за сотню, но быстрее всех с ней справились не олимпиадники по математике, не преподаватели и даже не профессиональные учёные, а моя тётя - абсолютный гуманитарий, специалист по PR и карьерный коуч.
Элегантное решение этой задачи от Марины Паюсовой : «Можно задать такой вопрос: если из остальных цифр (не загаданных Вами) я составила двузначное число, то это простое число?»
2) Про игру "Быки и коровы" было сказано в первом посте, но я чаще использую более изощренную и увлекательную (но менее содержательную с математической точки зрения, зато подключающую другие грани интеллекта) её разновидность. Загадывается не число, а пятибуквенное слово (на русском языке, нарицательное, в единственном числе, если оно имеется). Важнейший момент, что слово должно состоять из различных букв, и все слова-попытки его угадать от участников игры - тоже. Дальше идут обычные "Быки и коровы" (дети называют своё слово, обладающее перечисленными выше свойствами, я пишу на доске его и два числа: сколько его букв есть в моем слове, и сколько из них стоят на своей позиции). Сильные дети легко угадывают слово меньше, чем за 10 ходов, при определённом везении даже за 5-7. Если число ходов приближается к 20-ти, глубокой мысли не проявлено, происходит "угадайка". Игра хороша тем, что, во-первых, сохраняя значительную математическую/логическую составляющую, позволяет отвлечь детей от чистой математики, нагрузить другие области мозга, и за счёт этого отдохнуть. Во-вторых, она отлично способствует развитию навыков командного взаимодействия, так как преподаватель готов принять в качестве ходов только слова, с которыми согласно большинство, и дети должны убедить других в эффективности своего варианта. В-третьих, игра может стать ещё более динамичной, увлекательной настолько, что дети сами просят в неё поиграть, потому что позволяет поставить им некоторые требования по количеству ходов и, исходя из этого, дать им или нет некоторый профит (например, поставить хорошую оценку первому угадавшему исходное слово, или поставить её всем, если слово было угадано, скажем, меньше, чем за 10 ходов).
3) Можно сделать целую серию с красивыми стереометрическими задачами с очень прикольными решениями, условия которых доступны для понимания даже младшеклассниками (но им, к сожалению, не везде будут доступны решения). Поэтому лучше всё же этот материал использовать со старшими школьниками, либо выбрать из него только задачи, которые потенциально может решить школьник необходимого уровня.
a) Есть две картофелины произвольной формы. Всегда ли на поверхности каждой из них можно расположить замкнутый контур из тонкой проволоки, идеально повторяющий форму поверхности, так чтобы форма полученных замкнутых кривых была в точности одинаковой?
б) Более строгая задача на ту же идею (Тургор, 2013-14, осень, базовый вариант, 10-11.5). Вообще, по сути, все задачи в этом списке - известные задачи с классических олимпиад.
Космический аппарат сел на астероид, про который известно только, что он представляет собой шар или куб. Аппарат прополз по поверхности астероида в точку, симметричную начальной относительно центра астероида. Всё это время он непрерывно передавал свои пространственные координаты на космическую станцию, и там построили точную трехмерную модель траектории аппарата. Может ли этого оказаться недостаточно, чтобы отличить, по кубу или по шару ползал аппарат?
в) На поверхности шарообразной планеты расположена страна, имеющая площадь больше половины площади всей поверхности планеты. Обязательно ли можно прокопать прямой туннель через центр планеты, ведущий из этой страны в неё же?
г) Докажите, что два единичных куба с общим центром, повернутые произвольным образом друг относительно друга, имеют объем пересечения не меньше, чем 1/2.
д) Можно ли в кубе вырезать дырку, через которую пролезет куб такого же размера?
е) Существует ли невыпуклый многогранник, все вершины которого лежат на некоторой сфере?
ж) Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные друг другу боковые грани перпендикулярны плоскости основания?
з) У многогранника 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней. Обязательно ли это куб (возможно, деформированный понятным образом)?
и) Если сложить количество вершин и граней, а из результата вычесть количество рёбер, у куба, получим 2. Если то же самое проделать с любой пирамидой, тоже получим 2. То же самое для любой призмы, для любого правильного многогранника... А правда ли, что это верно для любого многогранника? (Отличный заход, чтобы доказать формулу Эйлера для планарных графов и рассказать про эйлерову характеристику).
к) Найдите длину ребра наибольшего октаэдра, который можно поместить в правильный тетраэдр с длиной ребра 1.
л) Грани октаэдра покрасили в шахматном порядке. Докажите, что для любой точки внутри него сумма расстояний до чёрных граней равна сумме расстояний до белых граней.
м) Существует ли тетраэдр, у которого одновременно есть квадратное сечение со стороной 1 и квадратное сечение со стороной 100?
н) На плоскости есть несколько бесконечных бумажных полосок (под полоской понимается часть плоскости, заключенная между двумя параллельными прямыми) суммарной ширины 1 (произвольных направлений). Всегда ли их можно параллельно перенести таким образом, чтобы полностью покрыть круг диаметра 1? (Да-да, на самом деле это тоже стереометрическая задача. Поэтому сюда можно присовокупить любые другие задачи, решающиеся "выходом в пространство").
о) Задача 11.4 с ММО этого года (про звездолёт): https://mmo.mccme.ru/2022/
п) Имеется поверхность произвольной пирамиды. Её разрезали по боковым ребрам и загнули каждую из боковых граней по ребру основания, положив на плоскость основания. Обязательно ли всё основание пирамиды будет покрыто этими загнутыми боковыми гранями?
р) Существует ли многогранник и точка, из которой не видно ни одной его вершины?
Россыпь задач от Нины Ягодной :
1) Крючок к функциям: мы с детьми играем в игру "угадай правило". Они называют мне число, я в ответ называю другое число. Задача детей - угадать правило, по которому я отвечаю. Это помогает показать, что через сколь угодно большое конечное множество точек проходит много графиков функций.
В 7 классе можно добавить элемент "угадай мелодию" - дети делают ставки, за какое наименьшее количество "их" чисел они смогут отгадать мое правило.
Эта же игра может использоваться и не с числами, а со словами или какими-то другими объектами, что помогает объяснить, что функция - это не обязательно про числа.
2) про футбольный мяч: классно получается попросить закрыть глаза и представить себе футбольный мяч. Какого он цвета? Он сшит из кусочков, верно? А какой формы эти кусочки? Обычно отвечают, что шестиугольники. После этого можно посмотреть на фото настоящего мяча (или даже вообще принести его) и обсудить, какой формы кусочки на самом. После этого легко выйти на полуправильные многогранники.
3) Прямоугольный параллелепипед. Что бывает такой формы? Из предложенных вариантов выбираем большой контейнер для перевозки грузов. После этого интересуемся, какие численные его параметры могут в жизни понадобиться и зачем: площадь поверхности для окрашивания, объем для перевозки зерна, длина диагонали для перевозки длинномерных объектов.
4) Есть кубик с ребром 1 и квадратный платок со стороной 3. Можно ли полностью "завернуть" кубик в платок?
5) Ещё про объемы: бокал для мартини в форме конуса был полон, из него отпили так, что уровень жидкости снизился вдвое, много ли коктейля осталось?
Хорошо идёт, если дети уже решали задачу про кусок мыла, у которого все размеры уменьшились вдвое.
6) Крючок к координатам векторов - графический диктант из начальной школы. Получается угловатый рисунок, можно обсудить, как сделать его более красивым, как регулировать угол наклона линий, которые мы проводим. После этого понимание координат вектора приходит само собой.
7) Крючок про вписанные углы: как нарисовать окружность, если ее потенциальный центр недоступен физически, а доступны только две диаметрально противоположные точки? Например, есть дерево, растущее сквозь крышу веранды, сделана квадратная дырка, хочется переделать ее в круглую, а центр недоступен - там ствол толстого дерева.
8) Крючок про касательную к окружности: мы привязали ведро к верёвке и начали раскручивать верёвку (не так принципиально, в какой плоскости, может, в вертикальной, а может, мы крутимся вокруг своей оси, а ведро летит горизонтально). Вдруг веревка рвётся! Куда и как полетит ведро?
Дополнения от Александра Виноградова по ранее опубликованным крючкам:
1) Быки и коровы
Несколько вопросов к ученикам по этой игре:
- Какая вероятность угадать число первым же ходом?
- Какого счета вы никогда не получите в ответ при правильной игре? (имеется в виду 3:1, но ответы типа 5:0 и 2.5:1.5 тоже можно отметить как формально верные)
- Какой ответ вы меньше всего хотели бы услышать на свой первый ход? А почему?
2) Крестики-нолики
У Гарднера в "A-ha!" (в русском переводе - "Есть идея!") не только "игра 15", но и другие интересные переформулировки и разновидности К-Н. Очень рекомендую почитать.
Если в правилах игры 15 убрать слово "трех", т.е. теперь сколько угодно карточек должны составить сумму 15, диагноз меняется, игра перестает быть ничейной. А самый активный первый ход классических К-Н, в центр поля, становится проигрывающим!
Вопрос продвинутому ученику/кружку: равносильна ли "игра 34" с карточками от 1 до 16 крестикам-ноликам на магическом квадрате 4х4?
3) Сет
простой вопрос: сколько в игре карт?
посложнее: сколько всего сетов? интересно, что помимо перебора по типам сетов есть красивое решение через подсчет двумя способами: каждую пару карт можно достроить до сета единственным образом, пар всего С(81, 2), но сетов втрое меньше, так как один и тот же сет получается из трех пар карт.
Для продвинутых "комбинаторов": сколько сетов в игре с N признаками и М значениями в каждом из них? (у классического сета N=4, M=3)
4) Улитка.
Решив классику, добавим обратный путь. Когда улитка спустится со столба? Тут важно проговорить в условии, что ночью она спит и никуда не ползет, а просто соскальзывает под действием силы тяжести. И лучше взять столб повыше )
5) Муха и велосипедисты
Тут самый интересный вопрос не "какое расстояние", а - "куда летела муха в момент встречи велосипедистов, налево или направо?"
6) Разрезание шахматной доски.
Люблю также вариант с триминошками: "какую клетку надо вырезать из доски, чтобы остаток замостился прямоугольниками 1х3?"
7) Толщина листа бумаги.
Вариант решения. Давайте используем тот факт, что если лист бумаги сложить 42 раза, он достанет до Луны.
Ну и напоследок задание-бонус от меня, автора Партизанской математики, которое я также написал в комментариях:
«Как достать пробку из бутылки?»
Её не было ранее в общем списке, т.к. она не совсем про математику.
Я использовал её только на живых демонстрациях перед большой аудиторией и немного с другой целью. Онлайн это задание не работает. Демонстрация по видео хотя и остаётся эффектной, но всё же у зрителя нет возможности реально попробовать свои силы.
Полное описание таково.
Выходит ведущий, которого в руках пакет-майка, из которого он достаёт прозрачную винную бутылку с продавленной внутрь пробкой.
Вопрос: «Как достать пробку из бутылки?»
Обычные варианты из зала: нагреть горлышко, раскрутить её, долить водой. Но они не работают.
Правильный ответ такой.
Рядом остался пакет-майка. Его нужно спрямить, продеть внутрь бутылки (от горлышка до днища), перевернуть бутылку (пробка должна стать ближе к горлышку) и надуть пакет внутри бутылки.
И если дальше взяться за ручки надутого пакета, то можно пусть и с усилием, но всё же вытащить пробку.
Вот примерная демонстрация: https://www.youtube.com/watch?v=sgvxU-HrRlA
В этом трюке очень важна подготовка.
Во-первых, пакет должен быть без дырок. Есть он будет дырявым, то его сложнее будет надувать и протаскивать.
Во-вторых, желательно чтобы бутылка была полностью прозрачной. Так даже издалека видно, что внутри барахтается пробка. К сожалению, подавляющее большинство винных бутылок затемнены. Пришлось некоторое время потратить, чтобы найти подходящую. И кстати, сама бутылка должна быть именно винной. Другие не подойдут.
В-третьих, вытащить пробку гораздо проще, чем её запихнуть обратно. Для этого я смог найти лишь один доступный инструмент – особую ложку с крепкой и тонкой ручкой. И то, саму пробку приходилось слегка подпиливать, иначе она не пролезала внутрь.
Я десятки раз проводил подобную демонстрацию, и почти всегда она имела успех.
Но была и пара казусов.
Как-то раз сидящий в зале отец одного из детей смог достать пробку с помощью верёвки. До сих пор не могу понять, каким волшебным образом у него это получилось…
Часть любознательных детей могут знать ответ. Некоторые даже пробовали вытащить с помощью пакета, но им просто не хватало сноровки. Там и правда надо немного потренироваться, чтобы быстро вытащить.
А однажды, прилетела жалоба от мамы школьника, что бутылка винная и что мы в госучреждении так агитируем за пьянство. Но директору как-то удалось её убедить, что в 5 классе бутылка с пробкой внутри скорее ассоциируется с приключениями, необитаемым островом и письмом в закупоренной бутылке. А не с алкоголем, о котором думают родители.
Остальные идеи можно посмотреть в первоисточнике – в комментариях к предыдущей записи в соответствующем посте в ВК.
Ещё раз спасибо коллегам за интересные идеи!