Довелось мне объяснять пятикласснику две неочевидные концепции — наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел во время прогулки, то есть, без возможности писать или рисовать.
Пятиклассники — народ с не очень древней, но весьма богатой культурой. Они успешно освоили письменность, устный счёт, а также конструктор Лего. Пятиклассник, с которым гулял я, считался в своём племени мастером по строительству из кубиков Лего всяких штук от башен, до самолётов. Так что с этого поля я и зашёл в своих объяснениях.
Разложить число на простые множители можно также, как раскладывается любая модель Лего на неделимые без разламывания элементы: кубики, пластинки, балки и колёса. Причём, это разложение будет единственным и возможным всегда.
Пусть у нас есть две модели, например, домик и автомобиль. Разобрав их "по винтику", мы получим две кучи простых деталей.
Из всех этих деталей можно сложить кучку, которых хватит по отдельности или на домик, или на автомобиль. В него должны попасть все необходимые для этого запчасти, но не более необходимых. Такой набор будет наименьшим общим кратным для, этих двух моделей.
Конечно же в такую кучку войдут колёса и оси от машинки, а также окна и труба от домика, но в ней могут обнаружиться и универсальные блоки, употребимые в обеих моделях. Кучка всех таких универсальных деталей образует наибольший общий делитель для двух моделей.
Для того чтобы стать мастером Лего, стоит изучить, какие детали существуют в природе, и решить вечные загадки: где они лежат в детской, и где была такая же деталь, но немного другая. Вот так и математики изучают простые числа и решают их вечные загадки: распределение простых чисел среди других, загадку чисел-двойников и т.д.
Эти же концепции можно проиллюстрировать на словах, раскладывая их на буквы. Например, любое из двух слов МОТОР и ТОПОР можно сложить из букв смешного слова МОТОПР. Этот набор букв будет наименьшим общим кратным для этих двух слов. При этом, в обоих словах есть буквы ОТОР — это их наибольший общий делитель.
Игра в слова оказалась забавной. Рекомендую похихикать вместе с пятиклассниками, это сближает.
* * *
Конечно, в приведённых аналогиях есть много несоответствий числовм системам: следовало бы говорить не о словах или моделях, а лишь о наборах (мультимножествах) простых элементов (букв или деталей), поскольку в отличие от приведённых примеров, комбинирование чисел умножением коммутативно. Кроме того, конструктор Лего и слова образуют только полугруппу и не содержат аналога единицы (НОД для взаимно простых объектов). Однако для выработки интуиции эти аналогии работают хорошо, позволяя понять что такое эти загадочные НОК и НОД.
Думаю, что прежде чем пользоваться формальным алгоритмом Евклида для простых вычислений, важно понять что же мы вычисляем с помощью алгоритма. Иначе не будет ясно зачем мы это делаем и для чего этот результат может нам понадобиться.
А про пользу теории делимости и НОКа с НОДом мне нравится рассказывать на примере упаковки коробок в ящики. Но тут надо рисовать, так что для прогулки этот пример не годится. О нём расскажу в следующей статье: