Приветствую Вас!
На первом курсе институтов по высшей математике, обычно в первом семестре, требуется решать пределы. И, одни, из непростых - это замечательные. Рассмотрим некоторые примеры из этой серии. Касаться они будут первого замечательного предела, который выглядит так:
Дело в том, что сама переменная икс может выглядеть и сложной функцией, т.е:
Главное, какой угол стоит возле синуса, на такой же и нужно делить. Допустим, требуется вычислить предел такого вида:
Чтобы решить его, нужно подвести к замечательному. Как это сделать? В числителе у синуса стоит 4х, а в знаменателе 7х. Есть такой прием в математике: можно разделить и домножить на одно и тоже число, и исходное не изменится. Применим:
По свойству пределов: предел произведения равен произведению пределов. Распишу один раз всё полностью:
Думаю, понятно. Усложним задачу:
Чтобы было попонятнее, распишем квадраты и применим предыдущий метод:
Давайте замесим тангенс:
Для немного забывчивых, напомню почему здесь cos(4x)=1. Дело в том, что икс у нашего предела стремится к нулю, а если ноль подставить под икс в косинус, то получится косинус нуля, а это единица: cos0=1(!)
Рассмотрим пределы с другими тригонометрическими функциями, которые требуется свести к первому замечательному пределу, для их решения. Например:
Ну, здесь потребуется знание формулы:
Применяя к пределу данную формулу и наш метод, получим:
пределы с заменой переменной
Теперь рассмотрим пределы, требующие замены переменной:
Проанализируем ситуацию. Нам же нужен синус, а как его получить? Конечно, применить формулу приведения. Так как cos(п/2 + х)=- sin x.
Сделаем замену: х=п/2 + у. Т.к икс у нас стремится к п/2, то игрек будет стремиться к нулю. Следовательно, при замене вот что мы получаем:
Теперь рассмотрим арки, т.е. arcsin x и arctg x. Рассмотрим сначала что попроще:
Сделаем замену: arcsin x=y, а если так, то х=sin y. Так как икс у нас стремится к нулю, видно, что и игрек будет стремиться туда же. Подставим замену и выйдем на замечательный предел:
Посмотрим, что нам сделать с арктангенсом. Допустим такой предел:
Также сделаем замену: arctg 2x=y, следовательно, 2х= tg y => x=(tg y)/2, получим:
Собственно, по первому замечательному пределу - это всё.
Благодарю за внимание..