Подводя итог серии статей о математических крючках, хотелось бы рассказать о некоторых ключевых аспектах использования этого педагогического инструмента.
Нужно всегда помнить, что это всего лишь один из инструментов педагога. Соответственно, и применять его нужно своевременно и с учётом некоторых правил.
Самое главное из них: фокус на учеников.
То есть в первую очередь задача и её решение должны нравиться именно школьникам. Причём индикатором является не cтолько какой-то зримый эффект на самом уроке. Скорее важно то, как глубоко эта задача врежется в память.
Если они потом задают её своим друзьям или пробуют провести подобную эффектную демонстрацию своим родителям, то можно сказать, что ваша цель достигнута.
Другим важным моментом является режиссура. Одну и ту же задачу можно обыграть по-разному. Можно просто кинуть задание в класс и на этом успокоиться, а можно подобрать серию вопросов или каких-либо иных действий, которые раскрутят задачу так, что она надолго запомнится школьникам.
С этим связано и другое важное правило.
Преподаватель должен быть сам влюблён в эту задачу. То есть она должна была быть сама в какой-то момент для него крючком. Может быть учитель увидел её на конкурсе педагогов, может быть в детстве на кружке, может быть случайный попутчик в поезде задал. Не важно. Главное, чтобы она вам самим очень нравилась. Сложно сделать крючок из задачи, к которой вы не испытываете никаких чувств. Она сама вас должна заряжать.
Рассказывать условие задачи и при этом зевать – верный путь деморализовать ученика. Так скорее получится анти-крючок. Если у вас не горят глаза от подобной задачи, то лучше вообще её не задавать. Лучше нудно рассказать теорию, тем равнодушно задавать то, должно было быть максимально заряжено спонтанностью. Вы должны быть сами влюблены в задачу, чтобы ученик имел шанс хотя бы на время тоже в неё влюбиться.
Также желательно избегать задач с подвохом.
В условии не должно быть каких-то дыр. Вот, например, такая задача: «Двое одновременно подошли к реке. Лодка, на которой можно переправиться, выдерживает только одного человека. И все же без посторонней помощи каждый переправился на этой лодке на другой берег. Как им это удалось?»
Она длинная, не требует каких-то логических рассуждений. Суть лишь в небольшом неочевидном пробеле в условиях. То, что эти люди подошли к реке с противоположных сторон.
Особенно важно избегать задач с подвохом со слабыми учениками. Иначе они каждую задачу будут воспринимать таким образом, даже не пытаясь решать по знакомой схеме или через какие-то последовательные логические рассуждения. Что, несомненно, вредит преподаванию математики.
Очень хорошо, когда школьники сами приносят какие-то задачи на подумать. Мне несколько раз приносили такую задачу с долгом. На ней хорошо объяснять, что такое активы и пассивы.
«Ты берешь в долг у мамы 25 рублей, и у папы 25, всего у тебя 50 рублей. Идешь в магазин и тратишь там ровно 45 руб. По дороге домой ты даешь в долг подружке 3 рубля (ей не хватало на что-то). У тебя остается 2 рубля. Ты приходишь домой, отдаешь долг маме - 1 рубль и папе - 1 рубль. Теперь ты должна им по 24 руб. Итог: 24 + 24 равно 48, и 3 рубля тебе отдает подружка, получается 51. Вопрос - откуда взялся рубль, если у тебя было 50?».
Возможно, школьники где-то подглядели её в тиктоке или у какого-то блогера.
Подобная задача может стать крючком не только для самого класса, но в большей мере для школьника, который её принёс. Тем более, когда школьник придумал задачу сам.
Также крючки должны быть уместны.
Когда приходит ученик с какой-то конкретной целью вроде поступления в МГУ или для усиленной подготовки к перечневой олимпиаде, стандартные задачи-крючки желательно не использовать. Или использовать совсем по минимуму. Крючками для них скорее являются какие-то неочевидные методы, неожиданные принципы решения задач, тонкости тактики подготовки и прочие вещи, которые содержатся внутри преподаваемого материала. Задачи на необычное соображение могут, наоборот, вызвать раздражение и даже лишнюю трату сил. То есть неправильно, когда ученик вместо того, чтобы искать какие-то общие принципы решения текущих олимпиадных задач, начинает думать, как из 6 спичек составить 4 равных треугольника.
Или, например, когда ученик любит быстро считать, но не умеет делать это правильно. В таком случае эффективные приёмы счёта или правила решения квадратных уравнений будут сами по себе крючками.
Далее, крючок должен быть актуален.
То есть ученик должен быть готов к восприятию правильного ответа, а также понимать условие. Или же задача должна как-то перетекать в тему занятия.
То есть задача про муху, летающую между велосипедистами, хороша тогда, когда ученики умеют хорошо решать задачи на движение. Про испарение влаги в огурцах – когда чётко умеют решать задачи на концентрацию.
Вообще многие крючки строятся на том, что школьники освоили определённый пласт задач и умеют изначально решать типовые задачи. И вот тогда им можно дать задачу, которая выглядит знакомой, но в ней спрятан какой-то необычный метод решения. Вот на этом эффекте и строится крючок – типичный приём «обман ожидания» (как в юморе).
Но бывает и наоборот. Можно дать задачу с огурцами (правда, до этого нужно, чтобы они решали простые задачи на концентрацию), сказать ответ и уже потом научить решать сложные задачи на концентрацию. Показать, что парадокс в этой задаче не такой уж и парадокс.
Крючков не должно быть много.
По сути их можно сравнить с приправой к основному блюду. Как специи изменяют и раскрывают вкус блюд, так и крючки лишь добавляют изюминку занятию. Но не в коем случае они не должны затмевать основной материал.
Не крючки ваша цель. Это не такие базисные задачи, через которые вы выстраиваете цепочки, сети или деревья заданий. Это скорее небольшие огоньки, которые периодически вспыхивают то там, то тут.
Бывает, что преподаватели увлекают подобными задачами и пытаются все свести к тому, чтобы якобы скучную тему разбавить вот такими вау-приёмами.
Это путь в никуда.
Математика при правильно выстроенном преподавании сама по себе является крючком. Вся соль состоит в том, чтобы перейти от эффектных демонстраций к внутренней красоте преподаваемого предмета и связи его с окружающим миром. К игре ума, который больше радуется элегантным рассуждениям, нежели блестящей внешней обёртке.
От кайфа от игр вроде «Мухи» и «Сета» дети должны перейти к кайфу от более содержательных математических заданий.
Взять для примера цепочку задач: разложите на множители x⁴-1, x⁴-2x²+1, x⁴+4, x⁴+x²+1, x⁵+x³+2, x⁵+x+1, x¹⁰+x+1, x⁸+x+1. Попробуйте остановиться и получить удовольствие от решения этих задач. Ответы на них можно добыть в сборнике «Задачи по алгебре. 7 класс.» (В.В. Прасолов) и в недавно выложенной в группе методичке по каналу Валерия Волкова.
Следующее правило: крючки не должны быть обязательными к решению.
Здесь очень важно, чтобы сохранялась некоторая спонтанность, которая так нужна в обучении. Это скорее задачи-бонусы, которые ни к чему не обязывают. Попробовать решить их самому – вознаграждение. Как съесть пироженку. Подсмотреть ответ в интернете – как смотреть на другого человека, который ест эту пироженку.
Другой момент связан с тем, что не всегда то, что было крючком для вас, будет крючком для учеников.
Лично у меня есть три любимых задачи, которые в своё время стали для меня крючком. Но при этом текущий уровень знаний моих учеников не позволяет превратить их из крючков-для-меня в крючки-для-них.
Например, в своё время меня поразили три задачи:
а) Игла Бюффона. В юности мне казалось, что такое принципиально нельзя посчитать, но через эту задачу я увидел силу математики. Заодно понял, зачем нужно интегралы.
б) «Дан острый угол α и точка А внутри него. Найти на сторонах угла точки В и С так, чтобы треугольник АВС имел наименьший периметр».
в) «Дан острый угол α и точка А внутри него. Найти на сторонах угла точки В и С так, чтобы треугольник АВС был равносторонним».
Но давать такое обычным ученикам без планомерной специальной подготовки не стоит.
Также нужно быть готовым, что некоторые задачи вообще могут перестать быть крючками в вашей работе.
Например, у меня такое произошло со следующей задачей:
«Кузнецу принесли пять обрывков цепи, по три звена в каждом, и попросили соединить их в одну цепь. Каково минимальное число звеньев, которые кузнецу нужно будет расковать и вновь сковать?»
Может быть изменился уровень учеников, может для меня задача стала не такой зажигательной… Но почему-то раньше она обладала вау-эффектом для моих школьников, а с какого-то момента перестала.
Также, когда занимаетесь с учеником индивидуально, можно после определения его уровня дать какую-нибудь посильную задачу-крючок. Я чаще использую для этого «Репку», чтобы понять, насколько ученик готов рассуждать в принципе. С одной стороны, она внематематична. То есть математики там знать совсем не нужно, что смягчает учеников с математической травмой. Там даже цифр нет. С другой стороны, с её помощью можно посмотреть, насколько ученик готов обучаться, используя предлагаемые подсказки. Именно поэтому к ней теперь у меня есть самая разветвлённая сеть различных подводок и наблюдений по работе с ней.
Иногда некоторые задачи-крючки нужны для того, чтобы расшевелить в ученике умение хоть как-то рассуждать. В том же ЕГЭ для первого пункта последней задачи нужен определённый настрой на перебор и поиск, который обычно в школе не ставят. Просто банально некогда терпеливо со школьниками рассуждать. Крючки же призваны помочь преодолеть страх перед рассуждением и попытками самостоятельного решения не по заданной схеме. То есть крючки также ещё важны методически, а не только как элемент увлечения. Это на случай, если ученик будет спрашивать, зачем мы вообще такое решаем.
Теперь про отбор задач и где их брать.
Источниками в основном являются традиционные кружковые материалы: «Тысяча и одна задача по математике» (А.В. Спивак), «Сказки и подсказки» (Е.Г. Козлова), материалы с сайта малого мехмата МГУ. Можно подсмотреть какие-то идеи в сборниках задач-жемчужин, подборку которых мы выкладывали здесь.
Большое количество материала можно взять из книги «Математическая составляющая» (Н.Н.Андреев и др.), а также с сайта Математические этюды. Хорошим источником является журнал Квантик и задания различных олимпиад с 4 по 7 класс вроде Математического праздника.
Задач и различных интересных фактов очень много. По мере накопления опыта и проверки заданий на практике вы выберете те, которые вам больше всего нравятся. Потом их можно проверить на школьниках. Так вы поймёте каким детям они будут заходить, какой порог входа должен быть у учеников, как лучше подать задания, в какой момент давать подсказки и т.д.
Порой приходится перебирать тонны подобного материала. Часть отбракованных задач можно пустить на какой-нибудь местечковый школьный математический капустник.
Также полезно смотреть некоторые открытые уроки коллег. Можно на видео, но лучше вживую. Огромное значение имеет подача материала, поэтому обращайте внимание не только на условие задачи, но и на её подачу.
К теме крючков мы, возможно, ещё вернёмся, когда будем говорить про учебную мотивацию.
В конце хотелось бы поделится ещё одной интересной задачей-игрой, про которую я не рассказал в прошлых частях.
Она отлично развивает логическое мышление у школьников.
Исходное условие:
«Известно, что Шакал всегда лжёт, Лев говорит правду, Попугай просто повторяет последний услышанный ответ (а если его спросить первым, ответит как попало), а Жираф дает честный ответ, но на предыдущий заданный ему вопрос (а на первый вопрос отвечает как попало). Мудрый Ёжик в тумане наткнулся на Шакала, Льва, Попугая и Жирафа и решил выяснить, в каком порядке они стоят. Спросив всех по очереди "Ты Шакал?", он понял только лишь, где Жираф. Спросив всех в том же порядке: "Ты Жираф?", он смог ещё понять, где Шакал, но полной ясности так и не наступило. И лишь после того, как на вопрос "Ты Попугай?" первый ответил "Да", Ежу, наконец, стало ясно, в каком порядке стояли животные. Так в каком же?
("Как попало" означает, что один из ответов "Да" или "Нет" выбирается произвольно.)»
Решение можно посмотреть в базе задач Prombems.ru под номером 116608.
Но эту задачи можно просто превратить в игру. Четыре человека заранее договариваются, кто из них какой зверь, а ведущий («Мудрый Ёжик»), должен задавать им по очереди вопросы вроде «Ты Жираф?» и по ответам пытаться понять, кто есть кто.