Приветствую Вас!
Что такое пределы в теории, я рассуждать не буду. На эту тему имеется достаточно информации. Разберем каких типов встречаются пределы и как их решать.
Первый вариант, где икс стремится к бесконечности. Что это значит? А то, что предел выражения 1/х будет равен нулю. Почему нулю? Ну, давайте подставим под икс (мы же можем подставить любое число, здесь кроме нуля), например, 1000, затем 1000000 и 1000000000:
- 1/100 = 0,001,
- 1/1000000 = 0,000001,
- 1/1000000000 = 0,000000001.
Итак, что мы видим: если под икс подставлять число все больше и больше, то выражение 1/х становится все меньше и меньше, т.е:
степеннЫе пределы
Возьмем вышеприведенное за основу для решения степенных пределов. Допустим, требуется вычислить такой предел:
Обращаем внимание, что старшая степень в числителе и знаменателе одинаковая. Нужно разделить каждое слагаемое на эту, старшую степень:
Видно, что у первых слагаемых икс в пятой степени сокращается полностью и остаются коэффициенты 4 и 7, следующие слагаемые оставляют за собой дробные выражения, в которых икс остается в знаменателе, а такие пределы равны нулю:
Рассмотрим вариант когда старшая степень находится в числителе:
Старшая степень во всем выражении - девятая ( не всегда может стоять вначале), следовательно, на нее и делим:
Пределы такого типа стремятся к бесконечности. Правило: делить на ноль нельзя, не работает, т.к ноль здесь условный, т.е выступает как очень маленькая величина.
Действительно, если семерку разделить на 0,000001 получится 7000000 и чем меньше будет знаменатель, тем больше будет становиться дробь.
Если у предела старшая степень будет находиться в знаменателе, то получится предел вида: 0/7. Такой предел будет равен нулю. Думаю, здесь всё понятно.
предел стремится к числу
Следующий вид, это когда предел стремится к нулю. либо к какому-то конкретному числу. Например:
В таких пределах под икс нужно просто подставить то число, к которому стремится предел и вычислить результат. Так у первого получится -4/7, у второго - 10/29.
Но, если при подстановке под икс Вы получаете ноль в числителе и знаменателе, требуется разложить на множители данные многочлены, чтобы убрать, т.к теперь он не условный, а вполне себе конкретный, ведь мы подставляем под икс четко обозначенное число. Например:
Возьмем пределы посложнее, но с той же проблемой, что и предыдущий:
Как видно, при постановке нуля под икс, в числителе и знаменателе образуется ноль. Некрасиво.. И на множители здесь не разложить, поэтому следует поступить по другому. а именно,
домножить данную дробь на такую единицу, чтобы она содержала в себе выражение, сопряженное выражению данных числителя и знаменателя.
Уфффф... Вот это я написала.. Звучит драматично, но это не проблематично.
Сопряженное выражение - это то, что, грубо говоря, наводит определенный кипиш для дальнейшего удобства подсчетов и, в принципе, меняет нашу жизнь к лучшему.
А если по конкретнее, то какое выражение написано в знаменателе/числителе, нужно домножить на такое же, только с противоположным знаком, если это касается квадратных корней, т.к цель - избавиться от них. Вот так:
Для чего это делается? А для того, что бы при умножении этих дробей знаменатель и числитель свернулись в формулу разности квадратов. Помните: (a-b)(a+b)=a² - b²? Только теперь a и b выступают целыми выражениями, но формула, при любых обстоятельствах, работает и приносит, как видно, свои плоды:
Но что делать, если корень кубический? Сопряженное выражение для него будет скобка неполного квадрата из формулы разность/сумма кубов. Вспомним как выглядит сама эта формула в общем виде: a³ - b³ = (a - b)( a² + ab + b² ). Для тех кто не в курсе, поясню: длинная скобка из формулы и называется - неполный квадрат.
Теперь предел:
Сверху, как видно, домножать нЕ на что. Скорее всего, потом разложим на множители, а пока знаменатель. Так как корни кубические, то сопряженным выражением будет та длинная скобка из формулы. Представим, что первый корень - это а, второй - b. Вот и распишем неполный квадрат в виде единичной дроби, подставив имеющиеся корни под а и b:
Числитель выглядит громоздким, но это не страшно. Главное, что знаменатель сворачивается в разность кубов, а это радует:
Не забудьте поставить в знаменателе скобочки, дабы не напутать со знаками. Что видно? А то, что снизу у нас образовывается (8 - 2х), а это не что иное как (х- 4), при вынесении -2 за скобки. Ну, а сверху - любимая разность квадратов. Действуем по намеченному плану и сокращаем-таки тревожные нули(!):
Дальше подставляем под каждый икс четвёрочку и, с легкостью, - данный предел равен -12.
Суть всего вышеизложенного такова: не важно как выглядит то или иное выражение, главное знать, с какой стороны к нему подобраться. Собственно, как и по жизни: знаешь прикуп - живешь в Сочи!
Про замечательные пределы в следующий раз.
Благодарю за внимание..