Л.А. Дугинов L.duginov@mail.ru
Ключевые слова: система нелинейных уравнений, эквивалентная схема замещения, линейные, квадратичные и степенные сопротивления, пример расчёта.
Введение
Проблему решения системы нелинейных уравнений, как известно, можно свести к поиску способа замены нелинейной системы на систему линейных уравнений, которая (при сохранении правых частей уравнений) путём замены всех коэффициентов в левой части уравнений на новые величины даёт (в результате итерационного процесса) правильные значения определяемых величин. Легко написать: найти способ замены нелинейной системы на линейную! Простейшая электромодель для гидравлического расчета кольцевых сетей при нелинейной зависимости потерь напора от расхода была предложена Кемпом и Хазеном в 1934 г. Потребовалось почти 35 лет с момента начала первых попыток до 1970 годов, когда этот вопрос частично был решён и опубликован в статьях Коздобы Л.А.
История вопроса
В 1972 году в книге Коздобы л.(3) была опубликована итерационная формула:
Т. е. автор предлагал усреднять значения при соседних итерациях, так как в противном случае, итерационный процесс зацикливался уже после 3-й итерации. С небольшой разницей аналогичные формулы были предложены рядом авторов уже в 2000-2005 годах. Для процесса усреднения они использовали в формуле (1) не коэффициент 2, а другие, вычисленные "особым способом", для ускорения процесса расчёта см.(3).
Почти одновременно в 1970-1972 годах автором данной статьи была выведена (независимо от других источников информации) иная итерационная формула тоже для гидравлического расчёта на электрическом столе на линейных сопротивлениях (резисторах). Для вывода этой формулы я написал систему, построенную на 2-х логически связанных уравнениях, первое из которых определяет падение напора на элементарном участке в случае степенной зависимости DH=f(q), а второе- в случае линейной зависимости ( в обоих случаях падения напоров на данном участке должны быть равны):
Из системы формул (3) и (4) получается две формулы (5 и 7) для расчёта итерационной формулы (линейного сопротивления):
А также формула (7), уже известная по книге Коздобы Л.А. как формула (2), применяемая для расчёта итерационной формулы (1):
Кстати, формула (7) изначально была мною забракована для работы на расчётном электрическом столе просто по причине необходимости замерять ток в ветви (расход) с отключением ветви от схемы, в то время как формулы (5) и (6) требовали только замеры падений напряжений (напоров) без отключения ветви, что было гораздо быстрее и удобней. О том ,что формула (7) приводит к зацикливанию процесса расчёта стало известно только в 1972 году, когда эта метода с формулой (6) была впервые успешно внедрена на ЭВМ Минск-32. Тогда произошёл весьма поучительный случай. От меня потребовалось дать итерационную формулу для разрабатываемой (для нашего отдела) программы вентиляционного расчёта системы турбогенератора (см. л. 1). В моём распоряжении были 2 формулы №6 и №7, из них была проверена в работе только формула №6, как главная, а формула №7 оставалась в запасном варианте по техническим причинам, указанными выше. И я пожалел ЭВМ Минск-32, зачем давать более сложную формулу №6, когда есть более простая №7. Естественно, гидравлическую программу зациклило сразу после 3-й итерации и ко мне была претензия, что вы такое даёте? Спасло положение,то что была у меня проверенная №6 формула. Гидравлическая программа с формулой №6 великолепно справилась с задачей и уже на 5-ой итерации был получен очень точный результат! Оставалось ещё понять, почему из этих двух формул, выведенных из одной системы уравнений, только уравнение №6 можно использовать как итерационную формулу?
Комментарии и пояснения по работе и применению методики расчёта эквивалентных схем замещения (с формулой №5, как более общей) в гидравлике и электротехнике
Что бы понять как работает итерационная формула (5) предлагаю рассматривать процесс решения с момента, когда он уже завершился, решение найдено и формально удовлетворяет обоим закона Кирхгофа. То есть мы на всех участках схемы замещения нашли не только расходы среды q, а также падения напоров DH и линейные сопротивления ZL. Иначе говоря, каждую гидравлическую схему замещения с "квадратичными" сопротивлениями Zo можно представить как схему с "линейными" сопротивлениями ZL. Причём,в обеих схемах всё полностью совпадает: и напоры, и расходы, всё различие лишь в том, что все "квадратичные" сопротивления Zo заменены соответственно на "линейные" ZL по итерационной формуле (5), как показано на рис.1.
Правильное понимание "как работает итерационная формула (5)" возможно лишь при условии, если принять гипотезу о том, что линейные сопротивления это не только математическая абстракция, но и реально существующее образование. Причём, это касается не только процесса в гидравлических цепях, но и в электрических и магнитных цепях. Выведенные итерационные формулы № 5-6 только показывают как для текущей итерации (момента времени) определить величину линейного сопротивления, которое всё время меняется по величине в зависимости от перепада напора DH на участке с "квадратичным" сопротивлением Zo. Можно вообще обойтись без этих формул, а перейти к построенным графикам DH=f(q) нелинейного процесса для элементарного участка или воспользоваться табличным методом, из которых легко определяется величина линейного сопротивления по формуле: ZL=DH/q. Где q-величина расхода для текущего момента времени. Разумеется, графики и таблицы берутся только по опытным данным, когда все физические величины DH,Zo и q являются связанными между собой определёнными зависимостями. Эту величину q нельзя брать из итерационного расчёта по формуле №7, пока этот процесс успешно не закончится. Расход q для промежуточного момента времени (итерации) можно определить только из системы уравнений (3) и (4) по формулам № 5-6 в которых моделируются эти зависимости. Этим объясняется безотказность и быстрота решения гидравлических уравнений любой сложности - вот уже в течении 50 лет.
Результаты расчёта гидравлической схемы замещения
В табл.1 показаны распределения расходов qk, "квадратичных" сопротивлений Zo и "линейных" сопротивлений ZL, а также падений напоров DH по всем 13-ти ветвям в двух схемах замещения ("квадратичной" и "линейной" в конце итерационного процесса).
В табл.2 показаны распределения расходов qk по итерациям i=1,2,3,4,5 и 10 для всех 13-ти ветвей "линейной" схемы замещения.
Из табл.2 видно, что уже после 2-ой итерации максимальная погрешность расчёта qk приходится на 10-ю. ветвь и не превышает 5%. Далее погрешность расчёта стремительно падает и уже на 5-ой итерации практически сводится к нулю, что видно из контрольной 10-й итерации.
На рис.2 показаны две зависимости расхода qk через участок ветви от номера итерации Ni для методики расчёта по формуле 5 (красный цвет) и методики расчёта по формуле 7 (сиреневый цвет).
Распечатка программы расчёта на Matchcad-15 гидравлической схемы замещения с нелинейными сопротивлениями, показанной на рис. 1
Применение итерационной формулы №5 в электрических расчётах нелинейных цепей постоянного тока
На рисунке 3 приведена электрическая схема замещения с разными нелинейными сопротивлениями Ro1-Ro5 и Ro6-Ro13 и её аналог с линейными сопротивлениями соответственно RL1-RL5 и RL6-RL13. Падение напряжения DU на сопротивлениях Ro1-Ro13 определяется формуле: DUi = Roi*Ii^ni, а на сопротивлениях RL1-RL13 по формуле: DUi = RLi*Ii. Величины всех сопротивлений Ro1-Ro13 и соответственно величины степени ni показаны ниже в таблице распределения показателей степеней по сопротивлениям.
Показатель степени ni в отличии от методик, основанных на итерационной формуле (1), не имеет ограничения ( ni< 7, см. л.3) и как показывает практика расчётов показатель степени ni может значительно превышать ni=10, взятую в данном расчёте.
На рисунке 4 приведены две вольт-амперные характеристики для сопротивлений Ro1-Ro5=4 ома и для сопротивлений Ro6-Ro13=25 ом
Распечатка программы расчёта на Matchcad-15 электрической схемы с нелинейными сопротивлениями, показанной на рис. 3
Примечание: в матричной формуле расчёта линейных сопротивлений ZL показатель степени nIr-это матрица показателей степеней ni, приведенных на рис.3 в таблице распределения их по сопротивлениям Ro1-Ro13.
Выводы:
- Как показывает опыт расчётов сложных электрических схем, если в основу алгоритма пересчёта нелинейных сопротивлений берутся формулы (5-6), всегда обеспечивается надёжный и быстрый итерационный процесс расчёта.
- В качестве начального приближения данный метод позволяет выбрать произвольно (в пределах ВАХ) величину начального тока для любого нелинейного сопротивления электрической схемы.
- Величину начального тока допускается выбрать одинаковой для всех (без исключения) нелинейных сопротивлений электрической схемы.
- Данная методика расчёта, разработанная для сложных электрических цепей, может быть использована при расчёте разветвлённых магнитных систем (постоянного тока) после соответствующей доработки c переходом на табличный метод (см. л.9).
Литература
- Дугинов Л. А., Шифрин В. Л. и др. Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов // Электротехника. – 1975. – № 12.
- Коздоба Л. А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопереноса. – М.: «Энергия», 1972
- Мызников А. М. Моделирование и идентификация параметров сложных гидравлических сетей: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук: – Тюмень, 2005.
- Филиппов И. Ф. Теплообмен в электрических машинах. – М.: «Энергоатомиздат», 1986. – C. 204.
- Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. – М.: «Машиностроение», 1992
- Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. М., «Энергия», 1975.
- Дьяконов В.П. Mathcad 8-12 для студентов. Серия «Библиотека студента» - М.: СОЛОН-Пресс,2005
- Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.
- Дугинов Л.А. Расчёт сложных магнитных цепей на постоянном токе по программе Mathcad., Статья автора «Про Гидравлику и Электрику» в Дзене от 17 ноября 2022 года.
