Анекдот: Перед физиком и математиком последовательно ставятся две задачи.
Задача №1. Дано: водопроводный кран с холодной водой, чайник и электрическая плита. Требуется: вскипятить чай. Физик и математик решают её одинаково.
Задача №2. Дано: водопроводный кран с холодной водой, чайник уже наполненный холодной водой и электрическая плита. Требуется: вскипятить чай. Эту задачу они решают по разному. Физик ставит чайник на плиту и кипятит чай. Математик первым действием освобождает чайник от холодной воды, а тем самым, сводит Задачу №2 к ранее решённой Задаче №1.
Вопрос: Чьё решение получит более высокую оценку? Ответ: А кто экзаменатор: физик или математик?
Никто не будет спорить, что умение думать и логическое мышление более всего присуще высокомудрым математикам, которыми я называю тех математиков, которые её создали и совершенствуют, а не просто обладателей дипломов матфака. Также нет сомнений, что логическим мышлением и умением думать обладают физики, химики, биологи, инженеры, а также экономисты, геологи и географы, обеспечивающие технологическое развитие человечества, но при этом их тип мышления заметно отличен от математического типа мышления, о чём чиновники от образования даже не догадываются.
Математический тип мышления, который иначе называют математической одарённостью, присущ не более 1% населения планеты Земля. Под математической одарённостью я имею в виду не того ученика, кто имеет по математике отличные оценки, а того, кто способен самостоятельно за ограниченное время решить усложнённое задание неизвестного ему типа. В моих классах, где я вёл математику, ни одного математически одарённого ученика не было, хотя многие из них окончили школьный курс математики на отлично.
Часть физиков в своей научной деятельности оперируют математикой не меньше самих математиков, но иным образом. Чем принципиально отличается деятельность тех и других? Приведём для наглядности такой пример. В силиконовой долине несколько тысяч специалистов создают компьютерное программное обеспечение, а пользуются им миллионы и миллиарды людей, и для этого людям не нужно знать, как устроено программное обеспечение. Математика для физиков (химиков, биологов, инженеров, …), как и для 99% жителей Земли – это инструмент, с помощью которого они решают физические, химические, биологические, инженерные, … и простые житейские задачи. Для пользования этим инструментом не нужно знать всех премудростей его устройства, созданием и совершенствованием которого мы обязаны высокомудрым математикам.
В настоящее время умение думать у выпускников школ принято оценивать по способности решать усложнённые задания, специально созданные высокомудрыми математиками якобы для этой цели. В действительности математические головоломки предназначены для выявления школьников с математическим типом мышления, что нужно делать и делается на математических олимпиадах, но превращение ЕГЭ в механизм выявления школьников с математическим типом мышления, каковых не более 1%, это перебор. А вот не замечать этого перебора, ставшего причиной негативных явлений в российском образовании, о которых шла речь в статье «Анализ особенностей и негативных последствий действующего бланкового ЕГЭ по математике», это уже бюрократическая слепота.
Математик Михаил Левин в ходе дискуссии на моём канале выписал усложнённое задание из ЕГЭ. В личной переписке я выложил своё решение, которое он прокомментировал следующим образом: «На ЕГЭ ваше решение не засчитали бы, потому, что вы пользовались калькулятором или знали табличные значения, но по сути — все верно».
Приведу упомянутое усложнённое задание ЕГЭ:
1. Существуют ли такие двузначные натуральные числа m, n, что |m/n- корень(2)|<1/100?
2. Существуют ли такие двузначные натуральные числа m, n, что |m²/n² - 2|<1/10000?
Вот моё решение:
Из первого неравенства очевидно, что для получения числа, удовлетворяющего ему, необходимо к 14/10 добавить число равное или меньшее чем 0,02=1/50. А дальше, используя основное свойство дроби, получаем число 71/50, удовлетворяющее этому неравенству. Добавляя к 14/10 последовательно меньшие дроби 1/60 и 1/70, мы получаем ещё два подходящих числа 85/60 и 99/70, причём последнее число из этой последовательности является наиболее близким к квадратному корню из двух, отличающегося от него на 0,00007.
Переходим ко второму неравенству. Расписывая его как разность квадратов и подставляя в него наименьшую разность равную 0,00007 и сумму равную 2,83 приходим к выводу, что второе неравенство не выполняется.
А вот решение Михаила:
1. Можно просто доказать существование, взяв числа 1, 1.01, 1.02...2 с шагом в 1/100. Корень из двух — иррациональное, потому точно не попадет в перечисленные, но окажется где-то между какими-то соседними числами в этом списке.
Пусть это будет интервал [m/100, (m+1)/100], длина интервала 1/100, так что корень из двух лежит от каждого их этих чисел на расстоянии строго меньше 1/100. Но одна беда, число m очевидно 3-значное, оно больше 100 и меньше 200, а нас просили 2-значное. Ну и не беда, заметим, что или m или (m+1) — четное, а значит одну из дробей m/100 или (m+1)/100 можно сократить на 2, и это уже будут 2-значные числа.
2. Будем исходить от противного, что такие двузначные натуральные числа m и n есть, тогда:
2-1/10000 < m² / n² < 2 + 1/10000
2n² — n² / 10000 < m² < 2n² + n²/10000
Смотрим и думаем! m² — целое число, 2n² — тоже целое число, а вот n² / 10000 — не целое, оно меньше 1 (потому, что n — двузначное, то есть < 100), а значит в интервале [2n² — n² / 10000, 2n² + n²/10000] есть только одно целое число, и это 2n². Значит, m² = 2n², что согласно Пифагору для натуральных чисел невозможно.
(Предположим, что дробь m/n несократимая (иначе — сократим ее), правая часть делится на 2, значит и левая делится, но там квадрат, значит m делится на 2, а m² — на 4. Но тогда правая часть делится на 4, а значит n делится на 2, а значит дробь была сократимая, получили противоречие).
В чём принципиальное отличие этих решений. Как известно, теоремы существования являются теми кирпичиками, на которых построено здание математики. В приведённом задании ЕГЭ оба вопроса были вопросами на существование, на языке которых мыслят математики, но на языке которых не мыслят, а главное, не должны мыслить физики (химики, биологи, инженеры, …) - именно поэтому против теорем на существование при обучении математики выступал великий Лев Ландау. Для меня, как для физика по образованию и типу мышления, значащим вопросом является не вопрос существования таких натуральных чисел, а чему равны эти числа, и я их нашёл.
Что в сухом остатке. Итак, ЕГЭ я провалил и на физфак, будь в 60-х годах нынешний ЕГЭ, я бы не поступил. С точки зрения высокомудрых математиков, создателей усложнённых заданий ЕГЭ, умение думать мне не доступно. И не защищал бы я диплом по теоретической физике: «Т-неинвариантные угловые корреляции конверсионных электронов и гамма квантов», посвящённой вопросам нарушения дискретных симметрий в квантовой теории поля, опубликованный в «Известия АН СССР» и не было бы моей докторской диссертации «Теория генерации аврорального радиоизлучения», посвящённой коллективным процессам в космической плазме.
И случилось бы это просто потому, что у меня, как и у 99% жителей Земли благодаря создателю, голова устроена не так, как у высокомудрых математиков. Руководители Минобрнауки и Рособрнадзора, а у Вас никогда не возникали сомнения в том, что оценка умения думать и владения школьной математикой у будущих физиков, химиков, биологов, инженеров, а также экономистов, геологов и географов, осуществляемая в ЕГЭ по лекалам высокомудрых математиков, верна?
А не следует ли оценку умения думать и владения математикой у 99% выпускников школ доверить не высокомудрым математикам, а тем, у кого такой же тип мышления как у будущих физиков, химиков, биологов, инженеров, а также экономистов, геологов и географов - не строителям математики, а продвинутым пользователям математики? Таковыми являются не только физики и инженеры, ставшие преподавателями математики, но и математики по образованию, если их научные статьи опубликованы не в математических, а в физических или технических журналах.
Что касается математически одарённых школьников, то вот их выявлять должны высокомудрые математики, но не по окончании одиннадцатого класса посредством ЕГЭ, а в шестом, седьмом и восьмом классах посредством Всероссийских олимпиад. Причём выявить математически одарённых детей – это лишь малая часть дела, важно всех таких ребят и девчат взять под опеку, составить для каждого из них индивидуальную траекторию обучения, курируя движение по ней вплоть до зачисления на тот же мехмат. В этом случае даже ДВИ не понадобится. То, что уже делается в этом направлении, заточено на медали международных олимпиад, а должно быть заточено на российские научные центры и лаборатории.
Достоверную оценку умения думать и владения школьной математикой 99% выпускникам школ даст 40-минутный электронный ЕГЭ. Математически одарённые школьники, которых не больше 1%, электронный ЕГЭ будут воспринимать как интеллектуальное Всероссийское соревнование, где тот, кто выше всех преодолеет планку в 100 баллов, будет победителем. Пока что лучший результат 160 баллов в моём электронном тесте, правда по высшей математике, показал студент из бауманки Николай Нагибин, ставший в 2016 году победителем III-тура Всероссийской олимпиады по математике для студентов технических специальностей.