Скоро будет проходить первый онлайн этап физтеховской олимпиады по физике для школьников (как зарегистрироваться здесь). Разбирали с учеником варианты прошлого года и наткнулись на красивую, на мой взгляд, задачку.
Про сложности с законом Архимеда на поверхности, когда хочется вычислить каким боком будет плавать хотя бы кубик, я уже писал ранее. А здесь сложности пришли не с поверхности, а с другой стороны. "Мы коснулись дна, и вдруг оттуда постучали."
Первый пункт задачи ставит в тупик своей простотой - неужели это просто давление двух с половиной метрового столба воды плюс атмосферное давление? Да, так все просто.
А вот второй пункт заставил ученика повозиться. Если бы такая конструкция плавала у дна, то со стороны воды действовала бы сила Архимеда - знания объема конструкции уже достаточно. А так, для силы Архимеда немножко не хватает из-за прикленной нижней поверхности. Первым делом попробовал он прикинуть, чему будет равна сумма сил давления с разных сторон. Раз фигура осе-симметричная, с другой стороны фигуры всегда по горизонтали будет действовать противоположная по направлению и равная по величине сила. Поэтому все боковые силы в сумме дадут ноль. Значит, направлена будет сила вертикально...Но просуммировать все силы по поверхности сферы в школе еще не учат. Так и сяк ученик поприкидывал, а потом сообразил, что нужно от силы Архимеда вычесть просто давление на дне умноженное на площадь приклееной части. Умный товарищ попался. Но забыл при этом учесть давление атмосферы, которое дополнительно выталкивало фигурку снизу и дополнительно бы давило сверх, в сумме давая нулевой результат в случае плавания фигурки. А вот если к дну приклеелись, то часть выталкивающий силы убрали, а утапливающая осталась. Если атмосферное давление не считать, то на такую фигурку будет вверх действовать сила, поэтому и кажется что в условиях задачи про клей написали - чтобы конструкция не всплыла. Правильным же было бы вычесть из силы Архимеда давление на дне (с учетом атмосферного) умноженное на приклееную площадь.
Красота этой задачи в том, что чем больше знаешь математики - тем труднее решить. Начнешь еще интегралы от силы по поверхности выписывать и пробовать сосчитать. А еще это интересный пример дискретного скачка в модели, где все происходит вроде бы плавно. Если мы будем плавно опускать кубик, то в каждый момент на него со стороны воды будет действовать сила Архимеда. Но если удастся в процессе опускания "приклеить" кубик ко дну, то сила скачком поменяет величину и направление! Вот такой загадочный квантовый переход.
Кстати, если натереть парафином кубик - то опыт может и не получиться! Оказывается очень трудно при контакте убрать полностью для воды возможность подтечь между дном и предметом. Лучше всего зажечь свечку, налить парафин на дно и припечатать кубик. А потом заливать водой. Кубик не всплывет! Но, может показаться, что это просто парафин его приклеил? Ничуть нет - если дно из стекла, эмалированное, пластиковое, то в холодной воде парафин затвердеет и если воду слить будет легко отделяться от дна. Хотя, сомнения все же остаются - ведь гладкая поверхность парафина при контакте с дном может создавать молекулярное притяжение (вспоминается школьный опыт с соединением идеально отшлифованных и притертых брусков). Поэтому, точно подтвердить наличие придавливающий силы со стороны воды можно накрыв кубик большим куском пленки и наливая воду сверху. Тут уж кубик ко дну никак не приклеен. При этом, направление действия результирующей силы со стороны воды становится очевидным.
Кстати, интегралов по поверхности не нужно пугаться. Наоборот! Наработанная физическая интуиция может помочь с их вычислением через теорему Стокса.
Философский вывод этих штудий такой. Оптимисты считают, что достигнув дна, можно от него оттолкнуться - т.е. хуже уже не будет. Однако, это только в вакууме. Реальной среде, пока объект тонет - движется в сторону дна, частично окружение ему помогает, выталкивает вверх, и нужно чуть меньше сил, чтобы остановить опускание. При этом, если тело дна коснулось частью своей поверхности, то все окружение придавливает дополнительной силой. However, если силы есть, а дно твердое, то прикладывать их на дне эффективнее. Так что, как это и бывает с философскими выводами, все зависит от ситуации.