На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две - третье и т.д.).
а) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?
б) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?
в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?
Решение
а) Да, например:
б) Сумма двух чисел, кратных 7, делится нацело на 7
Если число, кратное 7, умножить на 2, то получим число, кратное 7
Таким образом, записанные числа на доске, должны делиться нацело на 7, а 2012 на 7 не делится
Ответ: нет
в) Покажем, что сумма двух различных натуральных чисел меньше произведения двойки и большего из этих чисел:
Если натуральные числа равны, то их сумма равна произведению одного из них и числа 2. Значит, для получения наибольшего числа в результате применения разрешенных действий необходимо наибольшее число умножать на 2.
Таким образом, наибольшее число, которое может появиться на доске через 6 минут равно 448, что меньше 748:
Значит, через 6 минут получить на доске 784 нельзя
Покажем, что через 7 минут нельзя получить на доске число 784
1) Если в течение первых 6 минут не использовалось сложение, то на доске записаны числа 7; 14; 28; 56; 112; 224; 448. А с помощью этих чисел, используя разрешенные действия, нельзя получить 784
2) Если в течение первых 6 минут хотя бы один раз использовалось сложение, то наибольшее число, которое можно получить за 6 минут, равно 336. На доске будут записаны числа:
7; 14; 28; 56; 112; 224; 336
В этом случае, наибольшее число, записанное через 7 минут на доске, равно 672, что меньше 784.
Значит, через 7 минут получить на доске 784 нельзя и потребуется не меньше 8 минут.
Приведем пример, как получить число 784 через 8 минут:
Ответ: 8 минут